Psicología de la invención en el campo matemático

Escrito por Jacques Hadamard y publicado por Espasa-Calpe (Argentina) en 1947 (el original es de 1944).

Al autor esta vez sí que lo conocía, de hecho, había estudiado cosas suyas en la universidad, con lo cual de psicología matemática puede hablar, que, al menos de una de las dos cosas sabe y si en la otra también ha pensado, pues algo interesante escribirá.

Como él mismo dice, el estudio está inspirado inicialmente en una conferencia de 1908 de Henri Poincaré en la Sociedad de Psicología de Paris titulada: "La invención matemática" y también en la encuesta sobre el "método de trabajo de los matemáticos" de Maillet (las preguntas de la encuesta están en el apéndice I). Por cierto, de Henri Poincaré tengo un libro pendiente de leerme, titulado "La ciencia y la hipótesis", que ya comentaré cuando me lea.

Sobre esa encuesta el autor, además de utilizarla para el desarrollo narrativo, comenta una cosa que me parece muy interesante: "Se pregunta a los matemáticos cómo han conseguido sus éxitos. Ahora bien, no todo son éxitos, sino que también hay fracasos y los motivos de éstos son, por lo menos, tan interesantes como los de aquellos". Y sobre la conferencia de Poincaré, además de hacer lo mismo y utilizarla como hilo argumental, comenta dos cosas que me parecen muy interesantes: La primera "Lo más sorprendente a primera vista es ese carácter de iluminación instantánea, signo manifiesto de que debe precederle un trabajo profundo e inconsciente. La intervención de este trabajo inconsciente en la investigación matemática me parece indiscutible" y sobre este concepto desarrolla gran parte del libro, y la segunda: "llegamos pues a la doble conclusión: que la invención es elección, que esta elección está gobernada imperativamente por el sentido de belleza científica".

En fin, que intenta a lo largo de las 224 páginas, que se leen sin ningún tipo de problema, ahondar en el concepto de invención matemática y cómo llegan a ella los distintos matemáticos (aunque, por supuesto, habla mucho más de la forma en la que llega él que de la forma en la que llegan los demás, cosa normal). Aún así, de forma sorprendente, hay algún concepto del que no había oído hablar (a pesar de que el libro tiene casi 80 años de antigüedad), como la teoría de Fredholm (que es de 1900).

Por resumir, que es un libro muy agradable de leer y que está escrito de una forma muy sencilla y amena.

Como siempre, copio un trocito:

"Se trata de Cardan(*), que no sólo inventó la bien conocida transmisión que constituye una parte esencial de los automóviles, sino que transformó fundamentalmente la ciencia matemática por la invención de los imaginarios. Recordemos lo que es una cantidad imaginaria. Las reglas del álgebra prueban que el cuadrado de un número, sea positivo o negativo, es siempre un número positivo, por consiguiente, hablar de raíces cuadradas de números negativos es un absurdo. Ahora bien, Cardan cometió deliberadamente este absurdo y empezó a calcular con estas cantidades "imaginarias".

Se podría calificar esto como pura demencia, y sin embargo todo el desarrollo del álgebra y del análisis hubiera sido imposible sin este fundamento, el cual, por otra parte, durante el siglo XIX fue asegurado sobre bases sólidas y rigurosas. Se ha llegado a escribir que el camino más corto y el mejor entre dos verdades del campo real pasa a menudo por el campo imaginario (**)"

(*) Pone Cardan en referencia a Jerome Cardan (en francés) que en realidad era Girolamo Cardano (matemático italiano).

(**) De esto puedo dar fe, que muchos de los problemas de variable real, se resuelven de forma más fácil utilizando métodos de variable compleja. También hay un dicho entre los matemáticos que dice algo así como que "el cálculo complejo es el menos complejo de todos los cálculos".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1

Opinión: 4 (te hace pensar de manera muy sencilla y sin embargo es un clásico de la divulgación).

Las matemáticas y la física del caos

Escrito por Manuel de León y Miguel A. F. Sanjuán y publicado por la editorial del CSIC dentro de su colección ¿qué sabemos de? en 2013 (la segunda edición, la primera en 2010).

De esta colección ya he comentado un par de libros con anterioridad (1, 2, 3, 4 y 5) y sigo teniendo alguno más en casa pendiente de leerme, así que comentaré otros seguro.

La colección está escrita por gente que domina la materia y que hace unos buenos resúmenes sobre lo que se sabe del asunto y sobre lo que se está investigando en la actualidad. Realmente son libros que merece la pena leer y además de ser de pocas páginas, son muy sencillos porque no entran en el detalle técnico. De los autores, decir que el primero es el primer español miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional y el segundo es catedrático de física y director del departamento de física de la Universidad Rey Juan Carlos. Vamos, que como ya he dicho antes, saben de lo que hablan.

El libro, tal y como dicen ellos, trata de la tercera acepción de la palabra caos en el diccionario de la RAE: "comportamiento aparentemente errático e impredecible de algunos sistemas dinámicos, aunque su formulación matemática sea en principio determinista".

Empieza haciendo un repaso por los orígenes de la mecánica clásica (donde menciona entre otros a Zenon y sus paradojas de "Aquiles y la tortuga" y de la "flecha" y nos recuerda que además de sus paradojas fue el creador de las demostraciones por reducción al absurdo) y termina el repaso clásico con Newton (mencionando también a John Wallis, del que recuerda que es el inventor del símbolo de infinito: ∞).

Después nos dan un paseo por el mundo determinista y nos hablan de Euler, Lagrange, la mecánica Hamiltoniana, Laplace y la conservación de la energía. Y tras ese paseo nos empiezan a explicar las primera grietas en el determinismo (incluyendo la mecánica cuántica) y una buena caracterización de lo que se entiende por caos. De ahí pasa a Poincaré, Steven Smale (el de la herradura de Smale), por supuesto uno de los fundadores del caos como disciplina Edward Lorenz, de lo que se entiende por emergencia (de emerger, no de ir con prisas), del teorema KAM (que ya mencioné en otra ocasión), de las ecuaciones de Navier-Strokes, la mecánica estadística, las dimensiones fraccionarias (y se adentran un poco en los fractales) y hablan también de las Macy Conferences (dentro del desarrollo de la idea de complejidad). Y hay un último capitulo dedicado a mencionar de pasada la complejidad dentro de las ciencias de la vida (con muchos, pero que muchos nombres).

Resumiendo, 100 páginas que se leen de forma muy cómoda y sin casi ninguna complicación matemática (no entran en fórmulas).

Como siempre, copio un trocito:

"La complejidad del mundo supone un enorme contraste con la simplicidad de las leyes físicas. Éste es quizás uno de los aspectos más llamativos de la física: la simplicidad de sus leyes. Tanto las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo como la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica, así como la ecuación de Newton de la mecánica clásica se pueden escribir en unas simples líneas. Como indicaron, en un trabajo publicado en Science en 1999 titulado "Simple lessons from Complexity", los físicos Nigel Goldenfeld, de la Universidad de Illinois y Leo P. Kadanoff, de la universidad de Chicago, de modo irónico: "Todo es simple y ordenado excepto, por supuesto, el mundo".

De hecho, cuando uno mira al mundo, lo que observa es de una complejidad asombrosa. Si bien no existen por el momento leyes de la complejidad, tal y como existen las leyes de la física, los autores antes citados enumeran una serie de lecciones sencillas sobre complejidad que se derivan del análisis y la observación de numerosos sistemas complejos que existen en el universo".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1

Opinión: 3-4 (para una toma de contacto con la materia está muy bien).

Cómo nace un teorema

 

Escrito por Cédric Villani y publicado por Editorial Catarata en 2021 (aunque el original es de 2012).

Sí, otra vez que al autor sí que lo conocía. De hecho hace un par de años fui a una conferencia en la que iba a participar él, pero finalmente por culpa de las elecciones francesas no pudo asistir (ésta conferencia). Es un matemático (doctor), director del Instituto Henri Poincaré en París y, por supuesto, ganador de la medalla Fields.

El libro es la historia de la colaboración entre Clement Mouhot y Villani, y de cómo, a través de esa colaboración, logró demostrarse el teorema que finalmente (entre otras muchas cosas) le valió la medalla. El teorema de "Mouhot-Villani sobre el amortiguamiento de Landau" en sí es bastante desconocido entre la gente de a pie, y entre muchos matemáticos, entre los que me encuentro yo. Aprovecho el nombre del instituto que dirige y diré que Poincaré está considerado como el último matemático que sabía todo de todas las ramas de las matemáticas. Vamos, que desde 1900 el conocimiento matemático crece a tal nivel que es imposible dominar todas las matemáticas. Y ¿por qué digo esto? pues porque no hay que asustarse con el nombre del teorema ni con las implicaciones del mismo. No es necesario entenderlo para poder seguir el libro; si se entiende, mejor, pero no creo que haya muchos lectores que sean capaces de seguir las notas matemáticas, entre otras cosas, porque no están enteras.

Pues una vez que ya he contado de lo que trata el libro, decir que además en los finales de los capítulos (que son 44, pero muy, muy cortos), hay algunas historias de la gente o teoremas que menciona en ese capítulo, que merece la pena leer.

Como esta vez en el libro se habla de matemáticas de las de alto nivel, es muy probable que los lectores no puedan entender las cosas de las que se habla, pero ese no es el objetivo del libro, el objetivo es que se vean las dudas y los errores, las idas y venidas, hasta que se logra llegar al objetivo final (no sin antes, estar a punto de abandonar). Y al hablar de matemáticas, se habla de mucha gente, como de Gaspard Monge (el de los famosos conos de Monge en EDPs), de Perelman (y su demostración de la conjetura de Poincaré), de Paul Erdós (aunque no menciona el número de Erdós, jeje), de John Nash, de Kruskal (y los solitones), de Paul Cohen (y su demostración de la indecibilidad de la hipótesis del continuo), de la ecuación de Boltzmann (según el autor, la ecuación más bonita del mundo, aunque para mi sigue siéndolo la de Euler, pero vamos, de estos temas sabe más él que yo), de la ecuación de Vlasov, la teoría KAM, la fórmula de Faá di Bruno, el problema de Siracusa, el cálculo de Malliavin, de los Gömböes, en fin, de todo un poco y casi todo complejo. Pero repito, no hay que entender los problemas matemáticos de los que habla ni las ecuaciones que hay en el libro (que son muchas) sólo hay que entender el contexto de la historia.

Resumiendo, un libro de 238 páginas que se leen muy bien (obviando lo que ya he comentado un par de veces antes). De hecho, me he leído el libro en muy poquitas horas. Merece la pena leerlo, al menos a mi me lo parece. Y da una definición de Darwin sobre los matemáticos que es bastante acertada: "un matemático es como un ciego en una habitación oscura, buscando ver a un gato negro, que tal vez ni siquiera está ahí"

Como siempre, copio un trocito:

"No obstante, en un rincón de mi cerebro, una preocupación discreta pero tenaz fue creciendo poco a poco durante los últimos meses ... ¡Todavía no hay noticias de Acta (*), ninguna noticia de los evaluadores! Solo esta valoración independiente realizada por expertos cuyo anonimato se protege con cuidado, podrá confirmar nuestros resultados.

Después de todos estos honores, ¿Qué diré si nuestro artículo es incorrecto? Me imagino que el comité de la medalla Fields ha revisado nuestro amortiguamiento de Landau, teniendo en cuenta lo que está en juego, pero como de costumbre no se nada. ¿Y si algún evaluador hubiera encontrado un fallo durante el lento proceso de revisión y verificación por terceras personas? Cédric, tú eres un padre de familia, el suicidio ritual no es una opción".

(*) se refiere a la publicación Acta Mathematica, donde habían enviado por segunda vez su teorema para la publicación.

Clasificación:

Facilidad de lectura: 2 (sin entrar en el detalle de los desarrollos matemáticos)

Opinión: 4-5 (tiene un aire a otro libro que comenté: "El enigma de Fermat"

Los números de la vida

Escrito por Kit Yates y publicado por Blackie Books en febrero del 2020 (el original es del 2019). He señalado el mes en la fecha porque el último capítulo parece avisarnos del futuro que se nos vendría encima en el mes de marzo.

El autor es profesor de biología matemática en la Universidad de Bath, así que al menos sobre las matemáticas que rigen la vida, algo debía saber (y algo sabe).

Es un libro que no requiere ningún conocimiento previo de matemáticas, más que lo básico de sumar, restar, multiplicar y dividir. Con algo más que explica él sobre porcentajes y probabilidades, queda todo bastante claro (algunas explicaciones yo las hubiese dado de otra forma, pero cada uno explica como quiere). Es cierto que queda todo claro, porque no se mete en detalles técnicos, pero a fin de cuentas es un libro de divulgación para todo el mundo. Explica una pocas (si no necesitaría varios libros) de las matemáticas prácticas con las que nos encontramos en nuestro día a día.

Vuelven a aparecer, como en el libro anterior, los memes de Richard Dawkins, también Ada Lovelace y Charles Babbage. Pero también habla de cosas nuevas, como de las "falacias ecológicas" (suponer falsamente que las características de un individuo son las de la población), del famoso "problema del cumpleaños", de los problemas con las estadísticas y quienes las elaboran (en palabras de Upton Sinclair: "es difícil hacer que un hombre entienda algo cuando su salario depende de que no lo haga"). Habla de lo que se entiende por "algoritmos voraces", "algoritmos de Dijkstra", "algoritmos de parada óptima", los modelos SIR (y sus variantes, como la SCIR, que todas coinciden en decirnos algo que se está oyendo mucho desde hace unos meses, que es: "no vayas a trabajar si no te encuentras bien"), en fin, de muchos temas, algunos complejos, pero, como dije antes no entra en demasiados detalles técnicos y se entiende todo bastante bien. El capítulo 7 está dedicado en su integridad a los modelos que rigen la transmisión de enfermedades infecciosas (que en estos días viene muy bien saber, para entender un poco los modelos con los que se supone que trabajan los que se supone que trabajan para protegernos de las enfermedades. Es mucho suponer, pero es seguro que hay gente trabajando en ello (aunque hay más gente empecinada en estropear las cosas)).

Menciona también los siete problemas del milenio del instituto Clay: La conjetura de Hodge; la conjetura de Poincaré; la hipótesis de Riemann; la existencia del campo Yang-Mills y el problema del salto de masa; las ecuaciones de Navier-Stokes; la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, y el problema P versus NP (éste último es al que presta más atención por su repercusión en la seguridad en internet y biotecnología)..

Resumiendo, un libro de 353 páginas, que se lee de forma muy tranquila, aunque los capítulos son de 50 páginas cada uno y que nos hace pensar en las posibilidades de estar siendo influidos en nuestras decisiones por números mal desarrollados (por error o intencionadamente).

Como en el libro anterior, voy a copiar dos trocitos, porque no me decidía por ninguno:

"La epidemiología matemática proporciona una forma de evaluar y comprender estas decisiones. Explica por qué es mejor para todos que nos mantengamos alejados del trabajo o de la escuela si estamos enfermos. Nos dice cómo y por qué lavarnos las manos puede ayudar a prevenir brotes de enfermedades al reducir la fuerza de la infección. Y en ocasiones, de forma aparentemente contraria a nuestra intuición, puede poner de manifiesto el hecho de que las enfermedades más aterradoras no siempre son las que más deberían preocuparnos".

"En la misma medida en que los algoritmos se van haciendo cada vez más complejos, sus resultados pueden hacerse proporcionalmente impredecibles, y por ello deben someterse a mayor escrutinio. Pero dicho escrutinio no es responsabilidad exclusiva de los gigantes tecnológicos. Mientras los algoritmos de optimización impregnan más y más facetas de nuestra vida cotidiana, nosotros debemos asumir parte de la responsabilidad de garantizar la veracidad de los resultados que obtenemos de ellos. ¿Confiamos en la fuente de las noticias que leemos? ¿Tiene sentido la ruta que nos sugiere el navegador? ¿Creemos que el precio automatizado que se nos pide que paguemos por un producto es acorde a su calidad? Aunque los algoritmos pueden proporcionarnos información que nos facilita la adopción de decisiones vitales, en última instancia no sustituyen nuestros propios juicios, sutiles, sesgados. irracionales e inescrutables, pero a fin de cuentas humanos".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 1
Opinión: 4

Lo que no podemos saber

Escrito por Marcus du Sautoy y publicado por Acantilado en 2018 (el original es de 2016).

Del autor ya he comentado otro libro (éste), así que esta vez sí puedo decir que lo conocía previamente. Es profesor de matemáticas en la Universidad de Oxford y con eso a mi me vale para echar un vistazo a lo que escribe.

Tal y como parece indicar en el título, el libro nos introduce en las últimas fronteras de la investigación en asuntos tan diversos como la conciencia, la naturaleza del tiempo, la mecánica cuántica, el futuro del universo o el infinito. Como es natural, para poder plantearnos las preguntas correctas, primero deberíamos tener un poco de los conocimientos básicos en los que se basan las últimas investigaciones, y así poder entenderlas un poco mejor.

Obviamente, como el autor es matemático, muchos de los conceptos que explica son asuntos matemáticos, como el descubrimiento del caos (por parte de Poincaré, gracias a un error), de los exponentes de Lyapunov, de las simetrías (y del grupo SU(3)), nos recuerda también que la trigonometría fue una herramienta que no se inventó para torturar a los escolares, sino para desenvolverse por el cielo nocturno, el teorema de Gödel (y una frase muy buena de André Weil: "Dios existe porque las matemáticas son consistentes, y el Diablo existe porque no podemos demostrarlo"), la famosa hipótesis del continuo y la demostración de Stanford Paul Cohen (que dice que nunca podremos demostrarlo y que tanto ella o su negación pueden incorporarse a una teoría consistente sin generar contradicciones), la conjetura de Riemann, etc ...

Aunque como no sólo trata temas matemáticos, también aparece Feynman (y un comentario muy bueno suyo refiriéndose a la mecánica cuántica: " Voy a contarles cómo se comporta la naturaleza. Si ustedes simplemente aceptan que las cosas pueden ser así, les va a parecer espléndido y maravilloso. Si pueden evitarlo, no insistan en preguntarse: "¿Cómo es posible?", porque se meterán en un callejón del que nadie ha conseguido salir todavía. Nadie sabe cómo es posible."), la ecuación del principio de incertidumbre de Heisenberg, la longitud de onda de Compton, las singularidades (en este caso entendiendo por singularidad un punto en el que nuestra capacidad para dar un modelo de la situación fracasa), la entropía (que mide el número de posibles escenarios diferentes y de la que he hablado en múltiples ocasiones, incluyendo el libro anterior). Hay un par de frases finales que quiero copiar porque me parecen muy buenas, una de Maxwell: "La ignorancia plenamente consciente es el preludio de cada avance real en la ciencia", otra de Hawking: "El mayor enemigo del conocimiento no es la ignorancia, sino la ilusión del conocimiento" y una última de Francis Crick: "Resulta muy temerario afirmar que hay cosas que están fuera del alcance de la ciencia".

Pero además de temas puramente matemáticos y físicos, también trata otra serie de temas, entre ellos, la arquitectura del cerebro (menciona los estudios de la neuronas de Ramón y Cajal), lo que se entiende por un quale (una cualidad o propiedad tal y como es percibida o experimentada por alguien), el experimento de "la habitación china", la teoría de la información integrada (IIT) para analizar la consciencia de una red (una teoría bastante original en mi opinión).

En fin, que como libro de divulgación me ha parecido bastante completo, aunque eso sí, esta vez son bastantes páginas (531) pero que se leen de forma fácil y amena (y el que quiera hacer trampas, si se lee el último capítulo tendrá un buen resumen).

Como siempre, copio un trocito:

"Resulta chocante que los chimpancés empiecen a fallar en la prueba cuando alcanzan los treinta años, a pesar de que todavía les quedan diez o quince de vida. La razón podría ser que la conciencia de ser uno mismo tiene un precio. La conciencia le permite al cerebro embarcarse en viajes en el tiempo mentales. Se puede pensar en uno mismo en el pasado y también proyectarse al futuro. Por eso Gallup cree que en la última etapa de su vida los chimpancés prefieren perder esa habilidad se ser conscientes de ellos mismos. El precio que se paga por ser consciente de la propia existencia es que hay que enfrentarse a la inevitabilidad del futuro fallecimiento. La conciencia de la muerte es el precio que pagamos por ser conscientes de nuestra identidad. Esto plantea la interesante cuestión de si la demencia en los seres humanos desempeña un papel parecido, protegiendo a los humanos de edad avanzada del doloroso reconocimiento de su muerte inminente."

Clasificación:
Facilidad de lectura: 1
Opinión: 4

El reto de Hilbert

Escrito por Jeremy J. Gray y publicado por Editorial Crítica en 2003 (el original es del 2000) dentro, como no, de su colección Drakontos.

Tengo que volver a reconocer, como ya me ha pasado en otros libros anteriores, que al autor no lo conocía previamente, pero la idea de leerme un libro sobre la conferencia que dio en 1900 Hilbert en París era algo que me atraía bastante (como le debería pasar a casi todos los matemáticos). Para todos aquellos que no hayan oído hablar de David Hilbert, decir que fue uno de los grandes matemáticos de finales del siglo XIX y principio del XX y como muchos de los de aquella época estuvo dando clases en la Universidad de Göttingen. Para los matemáticos y físicos es conocido, sobre todo, por los famosos espacios de Hilbert (un tipo particular de espacios de Banach).

El libro, como indica en el subtitulo: "los 23 problemas que desafiaron a la matemática", trata de la conferencia que dio Hilbert en 1900 en París (la segunda conferencia del ICM, que tuvimos la suerte de celebrar una en 2006 en España). Como muy bien explican, Hilbert se planteó dar una conferencia normal, sobre lo que se había hecho en los últimos años y los avances conseguidos, pero después de pensarlo y hablarlo con Minkowski (sí, el famoso del espaciotiempo de Minkowski) decidió: "... hacer una caracterización de los problemas a los que los matemáticos deberían orientarse en el futuro.", y así lo hizo. Y para ello preparó 23 problemas (aunque no habló de todos ellos durante su conferencia por cuestión de tiempo, pero sí estaban todos en las actas de la conferencia).

Para que vayamos entrando en materia, el libro comienza relatando un poco los avances que logró Hilbert a lo largo de los años anteriores a la conferencia y también sobre la primera conferencia del ICM que dio otro de los grandes de todos los tiempos: Henri Poincaré, del que se dice que fue el último matemático en conocer todas las matemáticas de su época (y que cada vez que oigo su nombre me acuerdo del teorema de Poincaré-Bendixson, será por deformación estudiantil). Nos comenta los estudios de Hilbert sobre geometría no euclídea, teoría de invariantes, teoría de números, ... y como fue decidiendo y seleccionando los problemas que iba a incluir en su conferencia (están todos en el link que he puesto relativo a su conferencia). El libro se adentra un varios de ellos y en si han sido finalmente resueltos o aún no (entre los que aún no han sido resueltos totalmente están la hipótesis del continuo y la hipótesis de Riemann). Y finalmente transcribe la conferencia completa (las actas, con todos los problemas).

Está muy bien narrado, dentro de que los problemas en sí son bastante complejos (por eso los escogió). Pero introduce conceptos curiosos y anécdotas que van haciendo llevaderas las partes más complejas. Por ejemplo, habla del principio de Dirichlet (también conocido como el principio del palomar, que de forma sencilla lo que viene a decir es que "si hay n huecos en un palomar y n+1 palomas, entonces hay al menos un hueco en el que viven al menos dos palomas"), comenta una gran frase de Plutarco: "no se sigue por necesidad que, si la obra te agrada con su gracia, aquel que la forjó sea digno de tu estima", introduce un chiste de matemáticos polacos, en el que un matemático polaco responde a por qué tanto antes como después de la segunda guerra mundial en Polonia habían trabajado sobre algo tan recóndito como la lógica matemática, y el matemático responde: " antes de la guerra lo hacíamos porque la Iglesia no podía entenderlo, y ahora lo hacemos porque el Partido no puede entenderlo" (sobre matemáticas en Polonia, comenté un libro muy bueno sobre la vida de Ulam). Y como no, cuando se habla de lógica, vuelve a salir Gödel (del que ya comenté su famoso teorema en este link).

Por resumir, 258 páginas más 49 de la conferencia, que se pueden leer a ratitos ya que cada problema es medio independiente del anterior y no hay por qué forzar el cerebro más de lo estrictamente necesario.

Copio un trocito:
"La habilidad concreta de Hilbert puede haber residido en su capacidad de ver, o crear, el escenario general correcto que hacía que los problemas viejos y difíciles parecieran fáciles, pero él creó teorías que funcionaban. Quizá haya producido algunos de sus mejores trabajos en algunas de las áreas más puras de las matemáticas, pero también vale la pena recordar que tuvo un persistente interés en la física. Yo diría que Hilbert no planteó 23 problemas. Ni exhortó a la axiomatización y abstracción en un mundo concreto. Exhortó al proceso de equilibrar problemas con teorías y desarrollarlos a la vez. Es en este sentido, como evidenciaban sus 23 problemas, en el que era, como le calificó Blumenthal, un hombre de problemas.".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 3-4 (no hay que olvidar que está hablando de problemas de las matemáticas y hay mucha formula por el camino, aunque las evita todo lo que puede).
Opinión: 3-4 (yo diría que un 4 para los científicos y un 3 para el resto).