Este no es el título de este libro

Escrito por Nelo Maestre y publicado por Shackleton en el 2023.

Al autor no le conocía, pero es profesor asociado dentro del Departamento de Didáctica de las Ciencias de la Universidad Complutense de Madrid, así que para hablar de los principios de la lógica y las matemáticas, tiene capacidad de sobra. Además, el título no podía evitar ser similar a la famosa paradoja del barbero de Russell y eso siempre atrae mi atención.

Es un libro muy ameno, con algún momento de dificultad media-baja, pero es que no hay forma humana de hablar de matemáticas sin escribir alguna fórmula (así como de física sí que es más fácil hablar poniendo ejemplos cotidianos). En cualquier caso la dificultad es mínima y nos adentra bastante bien en lo que se entiende en matemáticas como lógica, llega hasta Gödel y sus teoremas (el de completitud y los dos de incompletitud), de cuya demostración hablé un poco al comentar otro libro (éste) y termina con una introducción a Turing (su máquina universal y el famoso test) y Claude Shanon (y la teoría de la información).

Para empezar, comienza hablando de las matemáticas y lo que entiende él que sería una buena definición (y que yo comparto la opinión, de hecho la había defendido hace muchos años cuando todavía internet estaba en pañales), y es que "la matemática es la disciplina que se ocupa de cómo pensar bien; para muchos, el arte de pensar con rigor", aunque también comenta que la palabra viene del griego y significa cosa que se aprende y, obviamente, al hablar de lógica y griegos, pues nos habla de Pitágoras, Aristóteles, ...

Va dando pinceladas de todos los temas que habla, y algunas de ellas son muy curiosas y muchas veces pasan desapercibidas, como que el número 1 no es primo (porque los números primos son aquellos que sólo se pueden dividir por ellos mismo, además de por el uno (por eso cualquier número primo tiene dos divisores)). También nos comenta la forma que tuvo Cantor de definir los conjuntos infinitos: son aquellos en los que se puede establecer una biyección del conjunto total en un subconjunto del total, y de aquí nos lleva hasta la hipótesis del continuo. También habla de los 23 problemas de Hilbert y de su famosa frase: "debemos saber, sabremos", y de una paradoja que siempre me ha resultado muy sorpresiva, que es la de Banach-Tarski.

En fin, un libro que se lee muy rápido (yo me lo he leído en tres tardes), con poca dificultad y que dice cosas muy interesantes, incluyendo las ideas principales de las demostraciones de los teoremas de incompletitud de Gödel (que teniendo en cuenta la dificultad que tienen, está muy bien realizado).

Como siempre, copio un trocito:

""El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos" ¿Qué tipo de trabalenguas era ese? ¿Qué estupidez? Y a la vez qué ingenioso y cierto. Si lo único que pedíamos a un conjunto para que existiese era definir de alguna forma los elementos que contenía, esa definición era tan válida como cualquier otra.

Era inútil dar más vueltas al asunto. Él amaba la lógica y ese razonamiento era totalmente lógico, no se podía oponer a él, sólo quedaba asumir el error y enfrentarlo con la dignidad propia de un hombre de ciencia y pensamiento. Tomó su pluma y escribió: "No hay nada peor que pueda sucederle a un científico que descubrir que su fundamentación se ha desplomado justo en el momento en el que ha terminado su obra. Una carta del señor Bertrand Russell me ha colocado en esta posición".

Completó el texto, metió el papel en su bolsillo y se encaminó hacia la imprenta. Había que parar la impresión del segundo tomo de los Fundamentos de la aritmética para incluir al final del libro un apéndice, un par de párrafos de texto, reconociendo que posiblemente todo lo que se contaba en ese volumen y en el tomo primero podría no tener ninguna validez."

Clasificación:

Facilidad de lectura: 2-3

Opinión: 4 (muy ameno e instructivo).

El número Omega

Escrito por Gregory Chaitin y publicado por Tusquets Editores dentro de la colección Metatemas (que dirige Jorge Wagensberg) en el año 2015 (el original es del 2005).

Esta vez al autor sí le conocía (de haber sido nombrado en otros libros) y con el subtítulo del libro: "límites y enigmas de las matemáticas" pues me llamaba para ser leído, así que eso he hecho.

Lo primero de todo, antes de analizar nada del libro, me gustaría dejar claro que el número omega no está explicitado en el libro, porque por definición es: "la probabilidad de detención en lo que los científicos de la computación denominan una computadora universal o una máquina universal de Turing".

Esta vez, para resumir de qué trata el libro, lo tengo muy fácil, porque el autor hace un resumen del mismo en la página 26, que copio literalmente:

"Este es nuestro camino hacia Omega:

• En el capítulo 2 le contaré cómo entró la idea de las computadoras en las matemáticas y la rapidez con que se instauró su utilidad.
• En el capítulo 3 incorporo la idea de la información algorítmica, de la medición del tamaño de los programas informáticos.
• El intermezzo trata brevemente los argumentos físicos en contra de los números reales de precisión infinita.
• El capítulo 5 analiza estos números desde un punto de vista matemático.
• Por ultimo, el capítulo 6 6 presenta mi análisis basado en la información acerca de lo que puede o no puede lograr el razonamiento matemático. Aquí es donde Omega se manifiesta en todo su esplendor.
• El breve capítulo final está dedicado a la creatividad."

Y yo añado que hay dos apéndices que merece la pena leer, con los títulos: "Ordenadores, paradojas y los fundamentos de las matemáticas" y "Sobre la inteligibilidad del universo y las nociones de simplicidad, complejidad e irreductibilidad".

Obviamente, por la definición misma del número Omega, nos tiene que comentar el famoso problema de la parada de Turing, y sus conexiones con el teorema de incompletitud de Gödel. Pero además hace referencia a muchos otros conceptos (explica casi todos) como lo que es la interpolación de Lagrange, lo que es una ecuación diofántica, el décimo problema de Hilbert, lo que es el lenguaje de programación LISP (tengo un libro muy bueno para aprender a programar en este lenguaje que es éste), la hipótesis del continuo de Cantor, lo que se entiende por un "programa elegante" (un programa de computación es elegante si no existe ningún otro programa más pequeño en su mismo lenguaje que produzca un resultado idéntico). Y hace muchas referencias a otros libros y artículos, entre ellos dos que he comentado con anterioridad: éste y éste.

Está bastante bien escrito, aunque hay partes que son un poco densas y hay que leer con calma; pero resumiendo, son 219 páginas más dos apéndices que merece la pena leer. Un libro recomendable, pero con cierta densidad, aunque no por ello deja de incluir frases simpáticas como: "A veces una mirada fresca es mejor, porque es mejor no saber qué han hecho otros, ¡en especial si todos ellos tomaron una dirección equivocada!".

Como siempre, copio un trocito:

"Veremos distintas consideraciones sobre si el universo se puede comprender de manera racional empezando por Platón, pasando por Leibniz y acabando con la opinión de algunos científicos eminentes del siglo pasado, Basándonos en ellas, defenderemos la tesis de que la comprensión es compresión, es decir, explicar muchos hechos recurriendo a unos pocos asertos teóricos, y que las teorías se pueden entender como programas de ordenador calcular observaciones. Esto nos lleva a definir la complejidad de algo en virtud del tamaño de la teoría más simple para explicarlo, en otras palabras, el tamaño del programa más conciso para calcularlo. Ésta es la idea central de la teoría algorítmica de la información (TAI), una rama de la informática teórica, Usaremos el concepto matemático de complejidad en virtud del tamaño de un programa para evidenciar los hechos matemáticos irreducibles, los hechos matemáticos que no se pueden demostrar mediante ninguna teoría matemática más simple que ellos mismos,"

PD: Menciona también otro libro que al que a lo mejor los profesores deberían echar un vistazo, que es éste.

Clasificación:

Facilidad de lectura: 3-4

Opinión: 3-4

Emmy Noether

Escrito por David Blanco Laserna y publicado por Nivola en el 2011.

Del autor, para no variar, no había oído hablar nunca, pero viendo el link que he puesto a su web, quizás merezca la pena anotarlo por ahí.

Estaba claro que, antes o después, terminaría leyéndome la biografía de Emmy Noether, como así ha sido, ya que hay gente de la que, aunque sepamos mucho, seguimos queriendo saber más, y este genio de la ciencia es uno de ellos. Este libro tiene bastante relación, con otro que comenté sobre la física en Alemania durante la segunda guerra mundial ("Al servico del Reich"), sobre todo en la parte final.

Puesto que es una biografía, no hay mucho que pueda contar del libro, que no sea parte de la vida de Noether, pero si hay algunos datos que merece la pena recalcar, como que era mujer y judía ... vamos, que lo tenía todo para no lograr jamás, nada de nada en la Alemania de aquella época, y aún así lo logró. Claro que no lo hizo sola, ya que contó con la ayuda de gente como Hilbert, Klein, Landau, ... en fin, algunas de esas personas que tienen su nombre asociado a la historia de las matemáticas. Es verdad que la protagonista también tiene su nombre en muchos lugares de las matemáticas: anillos noetherianos, dominios de Noether, módulos noetherianos, teorema de Noether-Lasker, álgebras noetherianas, dimensiones de Noether, pares Banach Jordan noetherianos, espacios topológicos de Noether, grupos noetherianos, ... casi nada, y eso sin mencionar el que para mi es uno de los teorémas más espectaculares que he visto en mi vida (y como matemático he visto unos cuantos), el teorema de Noether sobre la simetría y la conservación de cantidades (simplemente espectacular). Un teorema que yo, como matemático no estudié en la carrera, pero que lo pongo, como ya he dicho otras veces, a la altura del de Gödel.

Obviamente, al relatar la vida de Noether, sale a relación la universidad de Gotinga, donde al margen de los físicos de aquella época del nivel de Albert Einstein, Niels Bohr, Max Born, Victor Goldschmidt, James Franck, Eugene Wigner, Leo Szilard, Edward Teller y John Von Neumann, entre otros, estaban los matemáticos Felix Klein, David Hilbert, Karl Schwarzschild, Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Runge, Courant, Weyl, Landau, ... vamos, que nos quedamos con las ganas de ir en aquella época a dar una vuelta por allí. Luego llego el nacismo y los echó a todos a la calle (bueno, alguno quedó, pero la ciencia avanza mejor cuando se pueden hablar las cosas con otros).

Sin entrar en más detalles, un libro que, para los que estén interesados en cómo funcionaban las cosas en aquella época y en la vida de ésta grande entre las grandes, merece la pena leerlo; que son 249 páginas con referencias no sólo a las matemáticas (con muy pocas fórmulas y con algunos conceptos muy bien definidos como el de "ideal"), y de algunas anécdotas, como que Riemann antes de morir dejó escrito que, su famosa hipótesis sobre los ceros de la función zeta, que lleva su nombre - un problema que todavía sigue pendiente de solución- podía deducirse "de una expresión que no he sido capaz de simplificar lo bastante como para publicarla" (que es un comentario jocoso sobre Fermat y su famoso último teorema), sino también a temas físicos, como el principio de acción, la relatividad general, ...

Como siempre, copio un trocito (de la necrológica dedicada a Noether, escrita por Einstein):
"Bajo los esfuerzos dirigidos a la obtención de bienes materiales, se encuentra con demasiada frecuencia la ilusión de que éste propósito es el más importante y deseable que cabe alcanzar; por fortuna, existe una minoría de personas que descubren desde una edad muy temprana que la más hermosa y satisfactoria experiencia al alcance del hombre no deriva del mundo de las apariencias, sino que se encuentra íntimamente ligada al desarrollo de los propios sentimientos, de su trabajo y su inteligencia. Los verdaderos artistas, científicos y pensadores han sido siempre personas de esta especie. por anónimamente que discurran sus vidas, los frutos de sus esfuerzos son la contribución más valiosa que cada generación puede entregar a la siguiente...
En el reino del álgebra, donde se afanaron durante siglos los matemáticos más dotados, ella descubrió métodos de enorme importancia. Las matemáticas puras, a su manera, llegaron a componer una especie de poesía de la lógica".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 1
Opinión: 4-5 (pero entendiendo nuevamente que es una biografía).

Lo que no podemos saber

Escrito por Marcus du Sautoy y publicado por Acantilado en 2018 (el original es de 2016).

Del autor ya he comentado otro libro (éste), así que esta vez sí puedo decir que lo conocía previamente. Es profesor de matemáticas en la Universidad de Oxford y con eso a mi me vale para echar un vistazo a lo que escribe.

Tal y como parece indicar en el título, el libro nos introduce en las últimas fronteras de la investigación en asuntos tan diversos como la conciencia, la naturaleza del tiempo, la mecánica cuántica, el futuro del universo o el infinito. Como es natural, para poder plantearnos las preguntas correctas, primero deberíamos tener un poco de los conocimientos básicos en los que se basan las últimas investigaciones, y así poder entenderlas un poco mejor.

Obviamente, como el autor es matemático, muchos de los conceptos que explica son asuntos matemáticos, como el descubrimiento del caos (por parte de Poincaré, gracias a un error), de los exponentes de Lyapunov, de las simetrías (y del grupo SU(3)), nos recuerda también que la trigonometría fue una herramienta que no se inventó para torturar a los escolares, sino para desenvolverse por el cielo nocturno, el teorema de Gödel (y una frase muy buena de André Weil: "Dios existe porque las matemáticas son consistentes, y el Diablo existe porque no podemos demostrarlo"), la famosa hipótesis del continuo y la demostración de Stanford Paul Cohen (que dice que nunca podremos demostrarlo y que tanto ella o su negación pueden incorporarse a una teoría consistente sin generar contradicciones), la conjetura de Riemann, etc ...

Aunque como no sólo trata temas matemáticos, también aparece Feynman (y un comentario muy bueno suyo refiriéndose a la mecánica cuántica: " Voy a contarles cómo se comporta la naturaleza. Si ustedes simplemente aceptan que las cosas pueden ser así, les va a parecer espléndido y maravilloso. Si pueden evitarlo, no insistan en preguntarse: "¿Cómo es posible?", porque se meterán en un callejón del que nadie ha conseguido salir todavía. Nadie sabe cómo es posible."), la ecuación del principio de incertidumbre de Heisenberg, la longitud de onda de Compton, las singularidades (en este caso entendiendo por singularidad un punto en el que nuestra capacidad para dar un modelo de la situación fracasa), la entropía (que mide el número de posibles escenarios diferentes y de la que he hablado en múltiples ocasiones, incluyendo el libro anterior). Hay un par de frases finales que quiero copiar porque me parecen muy buenas, una de Maxwell: "La ignorancia plenamente consciente es el preludio de cada avance real en la ciencia", otra de Hawking: "El mayor enemigo del conocimiento no es la ignorancia, sino la ilusión del conocimiento" y una última de Francis Crick: "Resulta muy temerario afirmar que hay cosas que están fuera del alcance de la ciencia".

Pero además de temas puramente matemáticos y físicos, también trata otra serie de temas, entre ellos, la arquitectura del cerebro (menciona los estudios de la neuronas de Ramón y Cajal), lo que se entiende por un quale (una cualidad o propiedad tal y como es percibida o experimentada por alguien), el experimento de "la habitación china", la teoría de la información integrada (IIT) para analizar la consciencia de una red (una teoría bastante original en mi opinión).

En fin, que como libro de divulgación me ha parecido bastante completo, aunque eso sí, esta vez son bastantes páginas (531) pero que se leen de forma fácil y amena (y el que quiera hacer trampas, si se lee el último capítulo tendrá un buen resumen).

Como siempre, copio un trocito:

"Resulta chocante que los chimpancés empiecen a fallar en la prueba cuando alcanzan los treinta años, a pesar de que todavía les quedan diez o quince de vida. La razón podría ser que la conciencia de ser uno mismo tiene un precio. La conciencia le permite al cerebro embarcarse en viajes en el tiempo mentales. Se puede pensar en uno mismo en el pasado y también proyectarse al futuro. Por eso Gallup cree que en la última etapa de su vida los chimpancés prefieren perder esa habilidad se ser conscientes de ellos mismos. El precio que se paga por ser consciente de la propia existencia es que hay que enfrentarse a la inevitabilidad del futuro fallecimiento. La conciencia de la muerte es el precio que pagamos por ser conscientes de nuestra identidad. Esto plantea la interesante cuestión de si la demencia en los seres humanos desempeña un papel parecido, protegiendo a los humanos de edad avanzada del doloroso reconocimiento de su muerte inminente."

Clasificación:
Facilidad de lectura: 1
Opinión: 4

Gödel, Escher, Bach un eterno y gracil

Escrito por Douglas R. Hofstadter y editado por Tusquets Editores dentro de la colección Metatemas en ... durante muchos años, la edición que tengo yo es la octava que es del 2003, pero la primera se editó en 1987, aunque la original es de 1979 (yo estaría empezando a realizar operaciones aritméticas básicas).

Bien, sobre al autor, poco se puede añadir a lo que comentan en el link que he puesto, pero para el que no quiera echarle un vistazo, decir que es matemático, doctor en física y trabajó en el laboratorio de inteligencia artificial del MIT. Actualmente es catedrático de ciencias cognitivas en la Universidad de Indiana. Con estos datos, los nombres incluidos en el título y sabiendo que el libro llevaba 8 ediciones, merecía la pena echarle un vistazo ... un vistazo largo, que he tardado un buena temporada en leerlo (del estilo del de "El camino a la realidad" de Roger Penrose que ya comenté aquí).

Y he tardado más o menos lo mismo en leerlo porque la dificultad es bastante similar. Nuevamente me sorprende que hayan podido hacer 8 ediciones, o más, porque es un libro que requiere bastante concentración en su lectura, pero siempre es agradable suponer que hay mucha gente interesada en los temas de los que habla el libro, que son bastantes y bastante complejos.

Podríamos decir que el tema fundamental es el de la organización de los pensamientos, por ser un poco el hilo central del libro, pero trata multitud de temas para intentar explicar su punto de vista al respecto, como el de la autorreferencia, la numeración de Gödel, los sistemas formales, el ADN (hace una explicación exhaustiva del proceso de replicación celular (hablando implícitamente de la computación con ADN)), la organización colectiva en insectos, los conjuntos de Cantor, los diagramas de Feynman, los lenguajes de programación (haciendo especial mención a los utilizados en IA), el cálculo proposicional, los problemas de Bongard (de los cuales reconozco que no había oído hablar) y, en fin, innumerables conceptos todos muy entrelazados entre sí (de hecho nos podemos hacer una idea de cómo van a desarrollarse las cosas si nos fijamos en las iniciales del título "GEB" y las del subtitulo "EGB"). Por supuesto también hace una explicación espectacular de la obra de Bach, de Escher (inevitable cuando se habla de autorreferencias) y de Gödel a lo largo de todo el libro y en todos los capítulos aparecen referencias a ellos. También menciona un par de veces a Ulam, y lo digo porque el libro del que hablé aquí sobre su vida me pareció un muy buen libro.

Una vez comentado un poco de lo que trata el libro, me gustaría indicar algunas cosas que no me han gustado demasiado (pero lo haré con cuidado, que este libro, al margen de haberse llevado un Pulitzer el autor por él, es uno de los libros favoritos de muchos lectores de divulgación científica (como el mío podría ser el de "La nueva mente del emperador")). Indiscutiblemente el autor muestra un dominio absoluto de los conceptos que explica, pero no termina de gustarme su forma de hacerlo (lo cual no significa nada, es sólo mi opinión). Entiendo que muchos conceptos son complejos en el fondo (algunos también en la forma) pero creo que se podrían haber explicado mejor, quizás escribiendo de una forma menos alambicada. Es verdad que la forma de escribir tiene un por qué,  y de hecho te das cuenta de ello a lo largo del libro, pero cuando se trata de divulgación, creo que es mejor escribir de una forma que facilite más la lectura. Tampoco me ha convencido (aunque repito que tiene su lógica y está muy premeditado) lo de que el libro esté organizado de tal forma que haya un capitulo normal y unos diálogos entre una serie de personajes (siempre los mismos a lo largo de todo el libro). En fin, que a mi no me ha terminado de convencer, pero es verdad que es un libro curioso de leer (con sus ejercicios sugeridos en la página 464, al más puro estilo Penrose, aunque Hofstadter sea primero) porque la forma en la que está escrito no creo que se vea en muchos más. Eso sí, a la persona que tenga intención de leerlo, le tengo que recomendar que vaya tomando notas, que todo, absolutamente todo, incluso aquello que creías que era una tontería que no iba a volver a aparecer, se repite en diferentes formatos a lo largo del libro y los que tenemos memoria de pez, como es mi caso, hay momentos en los que nos perdemos un poco, sobre todo porque son 828 páginas, la mayoría de ellas para leer con calma.

Como siempre, copio un trocito:

"Hemos visto recursividad en la gramática de los idiomas, hemos visto árboles geométricos recursivos que crecen inacabablemente hacia arriba y hemos visto una forma de ingreso de la recursividad en la teoría física de los estados sólidos. Y ahora vamos a ver una forma bajo la cual el mundo entero aparece hecho de recursividad. Se relaciona con la estructura de las partículas elementales: electrones, protones, neutrones y los diminutos quanta de la radiación electromagnética llamados "fotones". Veremos que estas partículas están - en un sentido determinado que sólo puede ser rigurosamente definido por la mecánica cuántica relativista - incluidas unas dentro de otras de una manera que puede ser descrita recursivamente, quizá hasta por medio de algún género de "gramática"."

Clasificación:

Facilidad de lectura: 5 (conceptos complejos y mucha densidad en las explicaciones, hay que tomárselo con calma y sin ruidos externos).

Opinión: 3