Matemáticas: una historia de amor y odio

Escrito por Reuben Hersh y Vera John-Steiner y publicado por Crítica SL dentro de la colección Drakontos en 2012 (el original es del 2011).

Los dos autores (de los que reconozco que no había oído hablar) son profesores de la Universidad de Nuevo México, y eso es suficiente para que el libro fuese interesante, ya que de lo que trata es de las matemáticas tanto como asignatura, como de las vidas de los matemáticos que viven gracias a ellas. Obviamente, unos profesores de universidad deberían saber algo al respecto.

El libro hace un repaso por la vida de muchos matemáticos (demasiados para mi gusto, quizá hubiese sido mejor centrarse algo más en algunos en particular y no nombrar tantos, que al final son demasiados), pero no habla sólo de su vida, sino también de sus relaciones con el resto de la sociedad, de las trabas que hasta hace bien poco tenían los estudiantes de otras razas, bueno ellos, y las mujeres que querían estudiar ciencias, que tampoco se lo han puesto fácil nunca, aunque tengo que indicar que cuando yo estudié la carrera, casi la mitad de los alumnos eran mujeres.

Por supuesto se mencionan muchos de los matemáticos más importantes de todos los tiempos, pero no sólo para indicar lo que han hecho en matemáticas, sino también algunos de sus pensamientos y comportamientos sociales. Algunos hechos y pensamientos, aunque sólo de pasada, merece la pena indicarlos. Según Vladimir Arnold la matemática es sólo "la parte de la física en la que los experimentos son baratos". A G.H. Hardy, dos o tres semanas antes de su muerte, la Royal Society le informó de que le iban a conceder el máximo honor, la medalla Copley y dijo: "ahora sé que el final debe estar próximo. Cuando la gente se da prisa en conceder honores tan sólo puede extraerse de ello una conclusión perfectamente determinada". Se dice de Abraham de Moivre que predijo sin equivocarse el día de su propia muerte. Al observar que dormía quince minutos más cada día, de Moivre dedujo que moriría el día que durmiera veinticuatro horas. Un sencillo cálculo matemático le dio una fecha, el veintisiete de noviembre de 1754. Falleció aquel día. A Lipman Bers en una entrevista le preguntaron: "cuando dice que las matemáticas son una profesión muy cruel, ¿lo dice porque los estándares son tan altos? y contestó: los estándares son altos, y nunca sabes si serás capaz de abrirte paso. Luego, tienes miedo de no ser capaz de comprender a los profesores, y después, tienes miedo de no ser capaz de redactar una tesis.".

Dentro de los matemáticos (hombres y mujeres) de los que habla, no podía faltar Emmy Noether, de la cual no voy a añadir nada para no aburrir, excepto que en cierto momento del libro dice: "se trasladó a la universidad de Gotinga, donde asistió a las clases de Blumenthal, Hilbert, Klein y Minkowski" (ahí es nada).

También habla de los tipos de escuela de matemáticas que hay en los estados unidos y de la sensación que tienen muchos allí de estar quedándose atrás con respecto a la formación que reciben los alumnos en otros países (parece ser que no somos los únicos que nos sentimos así).

Añado en estos momentos (17/05/16), que ayer vi la película "El hombre que conocía el infinito" que narra la relación entre Hardy, Littlewood y Ramanuján, de la cual también se habla bastante en este libro, por si alguien está interesado.

Por resumir, son 348 páginas de una lectura muy sencilla (es casi un libro de historia) más otras 44 páginas de biografías muy cortitas (de dos o tres líneas cada una) de todos, o casi todos, los que menciona en el libro.

Como siempre, copio un trocito:

"Las computadoras y sus programas son la espina dorsal de nuestra sociedad. Por una parte, los trabajadores con una formación matemática avanzada son indispensables para el desarrollo, producción y utilización de ordenadores, pero por la otra, la generalización del ordenador y su uso doméstico y en el trabajo hace innecesaria incluso la aritmética más elemental para casi todas las demás personas. Estos dos efectos contrarios de la revolución informática llevan a una fuerte tensión en la educación matemática. Las presiones opuestas están sometidas a una enorme tensión: por un lado, la constante demanda de especialistas matemáticos, y por el otro, la cada vez menor necesidad que tiene la población en general de la competencia matemática tradicional. La reforma matemática tiene que reforzar la formación de aquellos que quieren y necesitan competencias matemáticas avanzadas sin por ello alejar de las matemáticas a esa gran parte de la población que cree que no las necesita".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1

Opinión: 2 (habla de demasiados matemáticos, en mi opinión).

El universo cuántico

Escrito por Brian Cox y Jeff Forshaw y publicado en 2014 (el original es del 2011, pero ha tenido diferentes ediciones con añadidos) por Penguin Random House Grupo Editorial (dentro de Editorial Debate).

Sobre los autores, simplemente decir que los dos son físicos teóricos en la Universidad de Manchester y poco más, que ya comenté en este blog otro libro suyo: ¿Por qué E=mc2? y ahí di detalles de ambos. Añadir que este libro lo compré precisamente porque me gustó bastante el primero que me leí de ellos.

Como ellos mismos dicen, lo que tratan de explicar a lo largo del libro (y en mi opinión lo consiguen) es el funcionamiento de eso que los físicos llaman mecánica cuántica, o por decirlo en otras palabras, de la física de lo muy pequeño, y, como reza el subtitulo del libro: por qué todo lo que puede suceder, sucede (no confundir esto con la famosa Ley de Murphy).

La verdad es que no se andan por las ramas explicando hechos históricos previos al desarrollo de la mecánica cuántica en sí, y ya en el segundo capítulo están hablando del modelo atómico de Bohr y del famoso experimento de la doble rendija, el del patrón de interferencia de electrones que indica que los electrones se comportan como ondas y no sólo como partículas. De hecho, dan la mejor explicación que he leído nunca del experimento (y la más cuántica también). Hay que estar muy atentos en el capitulo tres, porque ahí introducen una notación con relojes que seguirán usando para explicar diversos procesos a lo largo de todo el libro, y conviene tener las ideas claras para no quedarse luego sin entender otros desarrollos; vamos, que merece la pena releer algunas partes para quedarse bien con las ideas (bastante bien explicadas).

Como siempre, en los libros que hablan de mecánica cuántica, no podían faltar las menciones a Dirac, Pauli, Heisenberg, Schrodinger, Einstein Teller, Feynman, etc .. Aparecen también algunas cosas curiosas que, al menos para mi, eran totalmente desconocidas, como la ecuación de De Broglie, lo que se entiende por acción, pero al margen de las cosas desconocidas o no, la verdad es que explican todo con mucha claridad (incluidos los diagramas de Feynman en el capitulo 10 ó el funcionamiento de los transistores en el capítulo 9).

También, como en otros libros que he comentado con anterioridad, vuelven a hacer referencia a que cualquier teoría que no sea susceptible de falsación no es una teoría científica, de hecho, tal y como indican, en palabras del biólogo Thomas Huzley: "la ciencia es sentido común organizado, donde muchas hermosas teorías han muerto a manos de un hecho desagradable". Con esto lo que nos intentan decir es que las teorías, además de explicar los fenómenos que observamos, luego tienen que aguantar los resultados de experimentos para verificarlas o refutarlas. Cualquier teoría que no pueda ser verificada experimentalmente no es demasiado científica.

Antes de copiar el trozo habitual del libro, me gustaría indicar que tiene dos finales. Uno, para los que no quieran ver ningún cálculo matemático, en la página 243, y otro, para los que quieran ver un cálculo aproximado del que realizó Chandrasekhar en 1930 sobre el equilibrio de presiones en una enana blanca, un poco más allá, en la página 275 (en mi opinión merece la pena leer este epilogo). Resumiendo, un libro que habla de un tema bastante complejo, pero explicado de una forma bastante sencilla (eso sí, que nadie se despiste con los relojes).

Como siempre, copio un trocito:

""En una fiesta conoció a Herbert Jehle, un físico europeo que estaba pasando una temporada en Princeton, y, como es habitual entre los físicos cuando han tomado unas copas, empezaron a comentar ideas que estaban investigando. Jehle recordó el oscuro articulo de Dirac, y al día siguiente lo encontraron en la biblioteca de Princeton. Feynman empezó inmediatamente a calcular utilizando el formalismo de Dirac y, a lo largo de una tarde en compañía de Jehle, descubrió que podía derivar la ecuación de Schrodinger de un principio de acción. Fue un gran avance, aunque al principio Feynman supuso que Dirac ya lo habría hecho, porque era muy fácil. Fácil, claro está, si uno es Richard Feynman. Más adelante, Feynman le preguntaría a Dirac si sabía que, con unos pocos pasos matemáticos más, su articulo de 1933 se podía utilizar de esa manera. Tiempo después, Feynman recordaría cómo Dirac, tumbado en el césped en Princeton tras haber impartido una conferencia más bien deslucida, respondió simplemente: "no, no lo sabía. Es interesante". Dirac fue uno de los físicos más importantes de todos los tiempos, pero también era un hombre de pocas palabras. Eugene Wigner, otro de los grandes, decía que Feynman es un segundo Dirac, pero humano."

Clasificación:

Facilidad de lectura: 2 (en algunos sitios hay que pararse un poco).

Opinión: 5 (me ha gustado bastante y se lee muy bien).

Las raíces triviales de lo fundamental

Escrito por Jorge Wagensberg y editado por Tusquets Editores dentro de la colección Metatemas en 2010.

El autor es doctor de física y profesor de Teoría de los Procesos Irreversibles en la Universidad de Barcelona.

No había leído ningún libro suyo con anterioridad, pero ya iba teniendo ganas de leer alguno, que unos cuantos tiene, y hay que reconocerle que los títulos que les pone suelen ser bastante intrigantes: "A más cómo, menos por qué", "Si la naturaleza es la respuesta, ¿cuál era la pregunta?", ...

El libro, en forma de ensayo, lo que pretende es demostrar que lo trivial no es tan trivial como creemos, y que bajo cualquier ley fundamental de la naturaleza se esconde una raíz de estructura trivial, o como dice él mismo: "este ensayo tiene casi como único propósito el de hacer que anide en el lector una sospecha: lo verdaderamente fundamental no es ajeno a lo flagrantemente trivial.".

Para ello, y teniendo en cuenta que va a hablar de leyes fundamentales de la naturaleza, primero nos tiene que adentrar un poco en ellas y por lo tanto habla de Galileo, Newton, Einstein, Noether, ... De hecho, cuando se habla de leyes fundamentales, no podía faltar Emmy Noether, que el autor confiesa haber descubierto en su cuarto año de carrera (ahí ya me ha ganado, yo la descubrí después de finalizar la carrera, aunque también es cierto que él es físico y yo matemático) y de la que llega a decir en un momento: "señora Emmy Noether: yo también me quito el sombrero ante sus bellísimos, profundísimos y fundamentalísimos teoremas." y yo me uno a él en su comentario. De esta mujer ya he hablado en multitud de ocasiones, pero por si alguien aún no ha leído mis comentarios sobre otros libros donde aparece, que eche un vistazo al que viene llamándose teorema de Noether.

También habla de Boltzmann, para introducir el concepto de entropía (que es un concepto clave en la segunda ley de la termodinámica), S=k lnW (donde S es la entropía, k la constante de Boltzmann y W el número de configuraciones microscópicas compatibles con el estado de equilibrio macroscópico, y se mete en asunto filosóficos, económicos, biológicos y sociales.

Pero, antes de que me despiste y se me olvide, hay un comentario del libro hecho por el autor en esta web, que explica muy claramente lo que entiende por trivial y los tres tipos de trivialidades que define y que se usarán a lo largo de todo el ensayo. Y como ya están bien explicados ahí, no voy a repetir para no aburrir.

Es un libro que está hecho para que el que lo lea piense. No es complicado de leer, pero en mi opinión sí que necesita tranquilidad y pocas prisas si se quiere disfrutar de él. Está muy bien escrito y prácticamente hay cosas interesantes en todas las páginas, aunque sean cosas sencillas, como por ejemplo cuando dice: "como se sabe, en ciencia no basta con tener una idea buena, también es imprescindible caer en la cuenta de que es relevante y convencer de todo ello al resto de la comunidad científica.", que es un pensamiento con el que vuelvo a estar totalmente de acuerdo.

Resumiendo, son 258 páginas más un pequeño anexo matemático (que no es necesario en absoluto para la comprensión del libro) que hay que leer con tranquilidad, pero que para pensar un rato está muy bien. Un rato largo en este caso, que he tardado en leerlo.

Como siempre copio un trozo:

"En física, es decir, en todos aquellos procesos que protagoniza la materia inerte (es decir, en todos aquellos episodios en los que no intervienen objetos tan complejos como un ser vivo, un ser culto, o un colectivo político) existe otra gran pregunta que pide paso ruidosamente. El porqué no es una pregunta científica, sino el cómo. El porqué es una pregunta de urgencia cuando no sabemos bien qué es lo que queremos saber, cuando no sabemos qué es lo que queremos preguntar. El lenguaje responde al qué de las cosas, la tecnología al para, y la filosofía quizá sí al porqué, pero la ciencia sólo se ocupa del cómo de las cosas ... el porqué se usa en ciencia sólo para ganar tiempo, para dar tiempo a acertar con la buena pregunta."

Clasificación:

Facilidad de lectura: 3 (no es complicado pero hay que leer con calma).

Opinión: 3-4 (me ha gustado y me ha hecho pensar incluso sobre temas que en principio no me llaman la atención).

Detectadas ondas gravitacionales

Sí, ya se que esto no es un comentario de un libro (que aún me queda un rato para terminar el que me estoy leyendo ahora), pero es una noticia con la suficiente relevancia como para dejar constancia de ella (aunque estoy seguro que de esto van a hablar hasta en la televisión).

http://www.scientificamerican.com/article/gravitational-waves-discovered-from-colliding-black-holes1/

El reto de Hilbert

Escrito por Jeremy J. Gray y publicado por Editorial Crítica en 2003 (el original es del 2000) dentro, como no, de su colección Drakontos.

Tengo que volver a reconocer, como ya me ha pasado en otros libros anteriores, que al autor no lo conocía previamente, pero la idea de leerme un libro sobre la conferencia que dio en 1900 Hilbert en París era algo que me atraía bastante (como le debería pasar a casi todos los matemáticos). Para todos aquellos que no hayan oído hablar de David Hilbert, decir que fue uno de los grandes matemáticos de finales del siglo XIX y principio del XX y como muchos de los de aquella época estuvo dando clases en la Universidad de Göttingen. Para los matemáticos y físicos es conocido, sobre todo, por los famosos espacios de Hilbert (un tipo particular de espacios de Banach).

El libro, como indica en el subtitulo: "los 23 problemas que desafiaron a la matemática", trata de la conferencia que dio Hilbert en 1900 en París (la segunda conferencia del ICM, que tuvimos la suerte de celebrar una en 2006 en España). Como muy bien explican, Hilbert se planteó dar una conferencia normal, sobre lo que se había hecho en los últimos años y los avances conseguidos, pero después de pensarlo y hablarlo con Minkowski (sí, el famoso del espaciotiempo de Minkowski) decidió: "... hacer una caracterización de los problemas a los que los matemáticos deberían orientarse en el futuro.", y así lo hizo. Y para ello preparó 23 problemas (aunque no habló de todos ellos durante su conferencia por cuestión de tiempo, pero sí estaban todos en las actas de la conferencia).

Para que vayamos entrando en materia, el libro comienza relatando un poco los avances que logró Hilbert a lo largo de los años anteriores a la conferencia y también sobre la primera conferencia del ICM que dio otro de los grandes de todos los tiempos: Henri Poincaré, del que se dice que fue el último matemático en conocer todas las matemáticas de su época (y que cada vez que oigo su nombre me acuerdo del teorema de Poincaré-Bendixson, será por deformación estudiantil). Nos comenta los estudios de Hilbert sobre geometría no euclídea, teoría de invariantes, teoría de números, ... y como fue decidiendo y seleccionando los problemas que iba a incluir en su conferencia (están todos en el link que he puesto relativo a su conferencia). El libro se adentra un varios de ellos y en si han sido finalmente resueltos o aún no (entre los que aún no han sido resueltos totalmente están la hipótesis del continuo y la hipótesis de Riemann). Y finalmente transcribe la conferencia completa (las actas, con todos los problemas).

Está muy bien narrado, dentro de que los problemas en sí son bastante complejos (por eso los escogió). Pero introduce conceptos curiosos y anécdotas que van haciendo llevaderas las partes más complejas. Por ejemplo, habla del principio de Dirichlet (también conocido como el principio del palomar, que de forma sencilla lo que viene a decir es que "si hay n huecos en un palomar y n+1 palomas, entonces hay al menos un hueco en el que viven al menos dos palomas"), comenta una gran frase de Plutarco: "no se sigue por necesidad que, si la obra te agrada con su gracia, aquel que la forjó sea digno de tu estima", introduce un chiste de matemáticos polacos, en el que un matemático polaco responde a por qué tanto antes como después de la segunda guerra mundial en Polonia habían trabajado sobre algo tan recóndito como la lógica matemática, y el matemático responde: " antes de la guerra lo hacíamos porque la Iglesia no podía entenderlo, y ahora lo hacemos porque el Partido no puede entenderlo" (sobre matemáticas en Polonia, comenté un libro muy bueno sobre la vida de Ulam). Y como no, cuando se habla de lógica, vuelve a salir Gödel (del que ya comenté su famoso teorema en este link).

Por resumir, 258 páginas más 49 de la conferencia, que se pueden leer a ratitos ya que cada problema es medio independiente del anterior y no hay por qué forzar el cerebro más de lo estrictamente necesario.

Copio un trocito:
"La habilidad concreta de Hilbert puede haber residido en su capacidad de ver, o crear, el escenario general correcto que hacía que los problemas viejos y difíciles parecieran fáciles, pero él creó teorías que funcionaban. Quizá haya producido algunos de sus mejores trabajos en algunas de las áreas más puras de las matemáticas, pero también vale la pena recordar que tuvo un persistente interés en la física. Yo diría que Hilbert no planteó 23 problemas. Ni exhortó a la axiomatización y abstracción en un mundo concreto. Exhortó al proceso de equilibrar problemas con teorías y desarrollarlos a la vez. Es en este sentido, como evidenciaban sus 23 problemas, en el que era, como le calificó Blumenthal, un hombre de problemas.".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 3-4 (no hay que olvidar que está hablando de problemas de las matemáticas y hay mucha formula por el camino, aunque las evita todo lo que puede).
Opinión: 3-4 (yo diría que un 4 para los científicos y un 3 para el resto).

El corazón de las tinieblas

Escrito por Jeremiah P. Ostriker y Simon Mitton y editado por Ediciones Pasado y Presente en 2014 (el original es del 2013).

Supongo que los autores habían leído a Joseph Conrad y quisieron hacer un guiño con el título, pero que nadie se asuste, que este libro es de divulgación científica, no ninguna novela (por muy buena que sea). El subtítulo ya lo deja más claro: "materia y energía oscuras: los misterios del universo invisible".

El primero de los autores es profesor de astrofísica en Princeton y el segundo es investigador en historia y filosofía de la ciencia. De la unión de ambos cabía esperar un buen libro, y, efectivamente, así ha sido.

Tal y como indica el subtítulo, el libro habla sobre la materia y la energía oscuras que se supone componen la mayoría de la "materia" del Universo (no olvidemos que, de conformidad con la famosa ecuación de Einstein, materia y energía son equivalentes, motivo este por el cual los físicos de partículas miden la masa en eV).

Lo que me ha parecido muy bien del libro es que, como casi todos los libros que pretenden explicar algo de la física actual, se remonta a tiempos pretéritos para que la narración tenga sentido (ya podían haber hecho algo similar en los colegios e institutos y seguramente habría más gente aficionada a la ciencia), pero no se recrea demasiado con la antigüedad más absoluta y, aunque habla de Copernico y Galileo, se centra más en tiempos más modernos, desde Newton hasta hoy en día. La historia que cuenta es importante a la hora de comprender de dónde han salido esas dos cosas que nadie sabe aún muy bien qué son: la materia y energía oscuras. Siempre habrá alguien que piense que se lo han sacado de la manga los físicos actuales para cuadrar las observaciones. Y en cierta medida es así, pero no del todo. Son dos conceptos que se ajustan mucho con las observaciones de distintos eventos del Universo observable, pero que, además, cuadran con los datos que se obtienen de diversos modelos teóricos. Esta convergencia de observaciones de distintos fenómenos y de explicaciones matemáticas, ajustadas mediante la existencia de esos dos elementos fundamentales del Universo, y la historia que hay detrás, desde la inclusión de los dos conceptos en la narrativa astrofísica, hasta que han sido mayoritariamente aceptados por la comunidad científica y el modelo LCDM se considera el mejor de los modelos actuales (que no se preocupe nadie que explican perfectamente lo que es ese modelo), es la que hace que todo cobre sentido y no parezca algo tan raro como realmente es.

Como digo, un libro muy bien explicado en el que hay muy pocas fórmulas, y las que hay están muy bien explicadas (nos lleva desde la ecuación de campo de Einstein, a la la ecuación deducida por Alexander Friedmann y al tiempo de Planck de una forma simplemente espectacular, muy sencilla y muy bien explicada).

Por resumir, son 276 páginas, mas dos anexos pequeños en los que da más explicaciones matemáticas pero muy bien explicadas y que se pueden seguir con unos conocimientos mínimos (sobre todo la parte de cómo se mide la masa en astronomía) que se leen de forma muy rápida y entretenida. Merece la pena leerlo para poder opinar con algo más de fundamentos sobre un tema que está siendo puesto a prueba en la actualidad.

Como siempre, copio un trocito:

"Las preguntas surgen una tras otra, sin fin, y podríamos pensar en cualquier escenario fascinante y divertido para la evolución pasada del universo, algo que han hecho prácticamente todas las culturas, pero¿cómo podríamos saber si una imagen en concreto es científicamente correcta? ¿Podría la cosmología, esa actividad de creación de mitos cómoda y especulativa en la que llevamos siglos embarcados, convertirse en una verdadera ciencia? Como hemos indicado en el prefacio, para que sea una verdadera ciencia es necesario que los escenarios cosmológicos que se nos han ocurrido sean lo bastante definidos, claros y matemáticamente precisos para poder ponerlos a prueba empíricamente. Las pruebas deben ser lo bastante precisas y limpias para que se pueda demostrar si una determinada imagen teórica es incorrecta. La teoría debe ser "falsable", esto es, refutable; tiene que ser posible demostrar, ya sea mediante observación o mediante experimentación, que es errónea".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1-2

Opinión: 4-5

Gödel ∀ (para todos)

Escrito por Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro y editado por Ediciones Destino dentro de su colección Imago Mundi (número 170) en 2010 (la primera edición es del 2009).

Tienen un blog dedicado a este libro, que es: link, para los que quieran más información sobre él.

Lo primero que quiero comentar es que, para cualquiera con una formación superior en físicas o matemáticas (o simplemente para cualquier aficionado a los libros de divulgación científica) el simple hecho de ver en un título el nombre de Gödel, atrae. Podemos decir que Gödel y su teorema de incompletitud es a las matemáticas lo que Heisenberg y su principio de incertidumbre es a la física, por dar una aproximación. Es un cambio radical en la forma de pensar. Implica que las cosas no son siempre como queremos por mucho que nos esforcemos.

En el título ponen que es para todos, pero ya informo de antemano que no es así, o bueno, casi no es así. Digamos que podemos dividir el libro en dos partes, una primera que incluye hasta el capítulo seis que, cualquiera con unos conocimientos básicos de matemáticas elementales puede seguir y comprender (lo cual no está nada mal teniendo en cuenta el teorema que están explicando), y otra parte, del capitulo seis al nueve, en la que ya se centran en la demostración del teorema y que, en mi humilde opinión, no es para todos; es para gente con algo de formación y capacidad de abstracción, ya que las demostraciones, a pesar de que las explican bien y las realizan poco a poco, no terminan de ser fáciles (lo cual es normal, como ya he mencionado antes).

En el libro demuestran las dos versiones del teorema, tanto la semántica como la sintáctica. Voy a poner las dos definiciones para el que nunca haya oído hablar de este teorema lea su enunciado:

• (versión semántica): En toda teoría recursiva y consistente para la aritmética, si los axiomas son enunciados verdaderos, puede encontrarse un enunciado verdadero y no demostrable en la teoría.
• (versión sintáctica): Para toda teoría recursiva y consistente que contenga suficiente aritmética, existe un enunciado indecidible, es decir, un enunciado G tal que ni G ni no-G son demostrables.

Y realizan unas demostraciones bastante originales y mucho más sencillas que las originales (o por lo menos yo lo recuerdo así de mi época de estudiante). Basan las demostraciones en dos hipótesis, la primera es que "la concatenación es expresable en el lenguaje formal", y la segunda que "toda propiedad recursiva es expresable en el lenguaje formal", aunque luego demuestran que la segunda hipótesis se deduce de la primera. Como puede comprobarse por el enunciado del teorema y por los enunciados de las hipótesis, las demostraciones requieren del conocimiento de las operaciones en lógica de primer orden (la explican bastante bien) y de una serie posterior de definiciones bastante larga: teoría recursiva, expresable, lenguaje formal, enunciado, números de Gödel, ... lo que hace que se vuelva todo un poco complejo, pero es que no hay otra forma de demostrar el teorema que sea más sencilla (al menos de momento que yo sepa, seguro que tarde o temprano saldrá una más fácil de entender).

Por resumir, son 295 páginas de las cuales, las primeras 164 se pueden leer sin demasiadas complicaciones y a cualquiera que no supiese lo que era el teorema de Gödel le va a quedar bastante claro (tienen un capítulo dedicado a comentar algunos ejemplos de personas que han utilizado el teorema de Gödel fuera de las matemáticas, metiendo la pata hasta el fondo por no saber lo que realmente dice el teorema) y unos apéndices que merece la pena leer. Las demostraciones están muy bien explicadas, pero como ya dije al principio, no son sencillas de seguir (al menos en mi opinión).

Como siempre, copio un trocito:
"Y lejos de dar un golpe fatal a los procedimientos de la razón, la matemática avanza en todas las áreas sin preocuparse demasiado por el Teorema de Gödel . El Teorema de Gödel es visto antes como una curiosidad filosófica que como una preocupación práctica de la disciplina. Esto también es muy importante para tener en cuenta: no es que los matemáticos están detenidos en un limbo de indecisión desde que Gödel demostró este teorema. Si bien el fenómeno de incompletitud tiene gran importancia conceptual en algunas ramas vinculadas a la computación, a la topología, o a la teoría de abstracta de modelos, y el Teorema de Gödel inauguró toda una nueva rama de la matemática vinculada al problema de la decisión, fuera de estos ámbitos el Teorema de Gödel es mirado como un exotismo de los lógicos por la gran mayoría de los matemáticos".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 4 (diría que es un 2 hasta el capítulo cinco, el capítulo cinco es un 3 y los demás están entre el 4-5).
Opinión: 4 (está bien, dentro de la dificultad).