1+1 no es (siempre) 2

 

Escrito por John D. Barrow y publicado por Alianza Editorial en el 2022 (el original es del 2020).

Al autor sí que lo conocía, que ya había comentado un par de libros suyos antes (éste y éste), pero no sabía que había fallecido, así que sirva la presente entrada como mi más sentido pésame a su familia y a todos los que disfrutábamos con sus libros de divulgación (aún me quedan algunos suyos por leer).

Una vez dicho esto, era un físico-matemático, doctor en astrofísica por la Universidad de Oxford, así que para plantearnos que 1+1 no siempre es 2, debería estar capacitado (ojo, que puede parecer algo trivial, pero en el libro se habla de temas complejos) y efectivamente, lo está.

El libro es un repaso a las matemáticas desde un punto de vista conceptual o de filosofía de las matemáticas (basta con ver la cantidad de nombres de filósofos y lógicos matemáticos que aparecen mencionados) y de la forma en la que se entendían antes y se entienden ahora. Está muy bien desarrollado, con explicaciones claras (algunas podrían mejorarse un poco), pero en general se entiende todo bastante bien sin necesidad de entrar en lo que muchos entienden por matemáticas complejas (aunque la construcción de las matemáticas para mi es uno de los temas más complejos que existen).

Por supuesto, habla de la ecuación que da título al libro y de como no siempre el resultado es dos (no sólo cuando cambiamos el módulo o la base en la que trabajamos) y a partir de ahí entra en lo que entendemos por números naturales, la forma de construirlos (los postulados de Peano), lo que entendemos por infinito actualmente, gracias mayormente a Cantor (y a Dedekind que dijo que "un conjunto es infinito si se puede poner en correspondencia de 1 a 1 con alguno de sus subconjuntos"), los distintos infinitos que existen, el desarrollo constructivista en matemáticas, el problema de la completitud y la consistencia (teorema de Gödel incluido y mención al "conjunto de todos los conjuntos").

En fin, un libro de sólo 135 páginas que se leen en dos tardes (literalmente) y con prácticamente ninguna dificultad técnica, aunque sí con alguna conceptual. Por cierto, menciona el libro "La historia de tu vida" de Ted Chiang en el que está basada la película "La llegada" que, tengo que reconocer que me gustaron el libro y la película, que es algo que no ocurre casi nunca, pero es que en esta ocasión, la película se parece bastante al libro.

Como siempre copio un trocito:

"Hilbert puso en marcha su plan con gran confianza y convencido de que solo era cuestión de tiempo que todas las matemáticas quedaran atrapadas dentro de su red formalista. Esta confianza se refleja en el epitafio de su tumba, que es una cita del discurso que pronunció ante al Sociedad Alemana de Naturalistas y Físicos el 8 de septiembre de 1930 con motivo de una conferencia sobre epistemología de las ciencias exactas: "Debemos saber. Sabremos". Este convencimiento incondicional se manifestó en otras declaraciones no matemáticas de Hilbert. Hablando sobre el proceso judicial de Galileo y su incapacidad para defender sus convicciones científicas, Hilbert subrayó que "el científico pisano no era estúpido ... sólo un estúpido podría creer que la verdad científica necesita recurrir al martirio; este tal vez sea necesario para la religión, pero los resultados científicos se acaban demostrando a su debido tiempo"".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1-2

Opinión: 4

Como al león por sus garras

Escrito por José Manuel Sánchez Ron y publicado por Editorial Crítica, cómo no, dentro de su colección Drakontos. La edición es de junio de 2019 (éste sí que es actual).

Al autor esta vez sí que le conocía. De hecho ya había comentado algún libro suyo, como "éste" y tengo algunos otros esperando a ser leídos, pero que hay que pillarlos con tiempo, que son un poco "gorditos".

Es un libro atípico, ya que no tiene una estructura de continuidad, si no que cada capítulo ocupa tres o cuatro hojas y describe la vida de un personaje (casi todos científicos) y pone un trocito de uno de sus artículos, libros o cartas y lo comenta. Con este tipo de estructura, es muy fácil leerse el libro en ratos sueltos, ya que no hay que acordarse de los capítulos anteriores para poder seguir leyendo (ésto es muy importante para la gente que, como yo, tiene memoria de pez). Cada capítulo es independiente del resto. Respecto a los personajes de los que habla, la lista es bastante grande, más gente que los 90 capítulos, ya que en algunos de ellos habla de dos o más, con lo que nos podemos hacer una idea de que están muchos de los más conocidos (por supuesto, no todos porque sería imposible en un libro).

Por citar algunas cosas de las que habla, por ejemplo, en el capítulo que habla de Aristóteles, comenta: "si he seleccionado este texto es para mostrar que en la ciencia la equivocación puede -y suele- estar presente; que, de hecho, el progreso científico ha de convivir con el error, para identificarlo y superarlo posteriormente". En el que hala de Galileo: "hay que guardarse de no estar defendiendo lo falso, porque mil Demóstenes y mil Aristóteles se quedarían con un palmo de narices ante cualquier ingenio mediocre que hubiera tenido la suerte de aferrarse a la verdad", en el que habla de Newton, pone (en español) las tres leyes del movimiento y la ley de gravitación universal, tal y como aparecen escritas en los Principia (algo que no se ve todos los días). En el que habla de Lavoisier (aunque se que esto ya lo he comentado en algún otro libro no puedo evitar recordarlo) recuerda lo que dijo Lagrange cuando cortaron su cabeza en la revolución francesa: "sólo un instante para cortar esa cabeza. Puede que cien años no basten para darnos otra parecida". En el que habla de Riemann, comenta un poco la conferencia que dio en 1854 ante el claustro de la universidad de Gotinga (una de las más importantes a nivel de geometría). En el que habla de Echegaray y de la ciencia en España: "la ciencia matemática nada nos debe; no es nuestra; no hay en ella nombre alguno que labios castellanos puedan pronunciar sin esfuerzo" (triste, pero es/era así). En el que habla de Koch (teoría microbiana de las infecciones) comenta una cosa sobre Semmelweis: "que introdujo una serie de medidas higiénicas, como el lavado de manos. Sólo con esto, se redujo sensiblemente la mortalidad ocasionada..." (siempre he dicho que no existe una medida más simple y más barata de evitar infecciones, aunque tristemente se haya puesto de moda en estos días por lo que tenemos encima). En el que habla de Max Planck, habla de la entropía de un sistema (y aparece la fórmula que ya he comentado en muchas ocasiones: S=k*lnW) y de la fórmula de Planck: energía= constante * frecuencia (E=h*v). En el que habla de Heisenberg comenta el artículo que escribió en 1927 en el que dio a conocer al mundo su famoso principio de incertidumbre (con las implicaciones filosóficas incluidas). En el de Dirac, comenta algo obvio, pero muy interesante que es: "lo que es matemáticamente posible, no tiene por qué serlo físicamente". En el que habla de Hawking dice: "nunca sabremos realmente dónde se producirá el próximo gran descubrimiento científico, ni quién lo hará. Abrir las mentes a la emoción y el asombro del descubrimiento científico, crear formas innovadoras y accesibles para llegar a una audiencia joven lo más amplia posible, aumenta en gran medida las posibilidades de encontrar e inspirar al nuevo Einstein, sea donde sea que se halle".

Menciona gran cantidad de libros, entre ellos "El robot completo" de Isaac Asimov (para comentar las tres leyes de la robótica, a las que añade una cuarta) y que yo desde aquí recomiendo, igual que comenta la trilogía de la Fundación (que vuelvo a recomendar). También menciona el último libro de Hawking: "Breves respuesta a grandes preguntas", que tengo en casa pero no quiero leerlo aún, porque es el último y no habrá más, y llevo leyendo libros de él desde que tenía veintidós años y ya voy por cincuenta y .... Menciona muchos libros más, entre ellos, el que me estoy leyendo ahora de Weinberg, y otros dos que voy a ver si me los compro: "Dédalo e Icaro" de Bertrand Rusell y "Psicología de la invención en el campo matemático" de Jacques Hadamard. Y menciona también, por terminar, del de Hardy: "Apología de un matemático".

Por resumir, 458 páginas que se pueden leer de forma relajada de cuatro en cuatro, o, como me ha pasado a mi, más de golpe, debido al encierro casero decretado por el gobierno (no voy a comentar nada aquí de mi opinión al respecto de la gestión, que éste no es un blog de contenido político, sólo científico).

Como siempre, copio un trocito:
En el capítulo que habla de Kurt Gödel: "Hay resultados científicos que conmueven los cimientos de una disciplina, incluso, puede, de la visión del mundo mayoritariamente aceptada antes de ellos. El artículo que Albert Einstein publicó en 1905, luego conocido como el de la teoría de la relatividad especial, o el que James Watson y Francis Crick dieron a conocer en 1953 explicando la estructura de la molécula de la herencia, el ADN, son dos buenos ejemplos en este sentido. Otro es el de un artículo que publicó en 1931 el lógico Kurt Gödel, un artículo que conmocionó tanto a la matemática como a la filosofía, y que arruinó las esperanzas de hacer de la matemática una disciplina segura, reducible a la lógica [...] El artículo en cuestión se titulaba: "Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines"".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 1 (ha elegido partes de los libros o de los artículos que son comprensibles por cualquier persona).
Opinión: 4 (merece la pena leerlo, aunque sólo sea por la gran cantidad de gente de la que habla).

Hilbert

Escrito por Carlos M. Madrid Casado y publicado por RBA dentro de la colección "Genios de las Matemáticas"

 

Reconozco mi ignorancia más absoluta sobre el autor, pero tenía que leer un libro sobre Hilbert sí o sí, que, a fin de cuentas, ¿qué sería de las matemáticas sin los espacios de Hilbert? (se perdería mucha de la diversión de la Teoría de Operadores entre otras cosas), por no hablar de la mecánica cuántica.

 

El libro es un muy buen resumen de la vida y obra de David Hilbert, incluye, por supuesto los famosos 23 problemas que enunció en su conferencia de París de 1900 y sobre la cual ya comenté un libro anterior: éste. Pero no sólo habla de Hilbert y de su famosa frase: "debemos saber, sabremos", sino de la gente con la que coincidió, como Felix Klein, Paul Dirac, Heisenberg, Schrodinger, etc ... porque la verdad es que en la época de Hilbert, la universidad de Göttingen estaba llena de nombres de teoremas (vamos, de grandes cerebros). Como no, no podía dejar de mencionar a Emmy Noether, ya que fue él quien la defendió cuando se opusieron a su nombramiento como profesora en Göttingen, diciendo a sus colegas: "No veo que el sexo de un candidato sea una razón en contra de su admisión. Después de todo, esto es una universidad y no un  establecimiento de baños públicos" (esto es una demostración de lo que debería haber sido siempre el pensamiento científico: objetivo).

 

Obviamente, al tratar de la vida de Hilbert, se mencionan prácticamente todas las ramas de la matemática (incluyendo la polémica formalismo-intuicionismo), ya que fue uno de los últimos que domino (o casi) todas ellas. Salen la práctica totalidad de los matemáticos que se estudian durante la carrera y eso, para los que estuvimos cinco años dando vueltas a sus conclusiones siempre hace ilusión. Se menciona nuevamente el cuaderno escocés y a Stefan Banach (sí, el de los espacios de Banach) del que ya he comentado algo en alguna ocasión (aquí).

 

No entra en profundidad en los asuntos complejos, lo que hace que sea un libro apto para cualquier persona, pero al mismo tiempo introduce conceptos que a lo mejor no son conocidos por el público general (como las integrales Lebesgue, el cálculo de variaciones, las ecuaciones en derivadas parciales, los espacios de Hilbert y muchos otros conceptos que bueno, no está mal que le suenen a la gente). Pero aunque los conceptos son complejos, están bien explicados y no hay que volverse muy loco para entenderlos. De hecho, algunas de las materias son tan complicadas realmente que el propio Hilbert comentó en una ocasión: "la física se está haciendo demasiado complicada para dejársela a los físicos". Hay otra frase muy buena en el libro que no quería dejar sin transcribir aquí: "duda de los datos hasta que los datos no dejen lugar a dudas" (Henri Poincaré).

 

Por resumir, un libro que se lee muy fácilmente a pesar de los conceptos que trata y que son sólo 167 páginas que se leen, literalmente, en una tarde de relax. Tengo otro libro de esta colección, el de Gauss, que no puedo dejar de leerlo en algún momento, por aquello de que cuando estaba en la universidad, jugué en un equipo de baloncesto que se llamaba: "los hijos de Gauss" (y no, no éramos muy buenos, pero nos lo pasábamos muy bien).

 

Como siempre, copio un trocito:

"Hilbert soñaba con fundar las matemáticas sobre una base axiomática. Por desgracia, los teoremas de Gödel acabaron con el sueño del por entonces mejor matemático vivo. En una matemáticas concebida como un sistema formal siempre habrá hipótesis cuya verdad o falsedad no se pueda demostrar. Y lo que es mucho peor: nunca podrá demostrarse que no puede deducirse una contradicción. Justo cuando el edificio estaba a punto de terminarse, los cimientos volvieron a hundirse".

 

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1

Opinión: 3-4

El reto de Hilbert

Escrito por Jeremy J. Gray y publicado por Editorial Crítica en 2003 (el original es del 2000) dentro, como no, de su colección Drakontos.

Tengo que volver a reconocer, como ya me ha pasado en otros libros anteriores, que al autor no lo conocía previamente, pero la idea de leerme un libro sobre la conferencia que dio en 1900 Hilbert en París era algo que me atraía bastante (como le debería pasar a casi todos los matemáticos). Para todos aquellos que no hayan oído hablar de David Hilbert, decir que fue uno de los grandes matemáticos de finales del siglo XIX y principio del XX y como muchos de los de aquella época estuvo dando clases en la Universidad de Göttingen. Para los matemáticos y físicos es conocido, sobre todo, por los famosos espacios de Hilbert (un tipo particular de espacios de Banach).

El libro, como indica en el subtitulo: "los 23 problemas que desafiaron a la matemática", trata de la conferencia que dio Hilbert en 1900 en París (la segunda conferencia del ICM, que tuvimos la suerte de celebrar una en 2006 en España). Como muy bien explican, Hilbert se planteó dar una conferencia normal, sobre lo que se había hecho en los últimos años y los avances conseguidos, pero después de pensarlo y hablarlo con Minkowski (sí, el famoso del espaciotiempo de Minkowski) decidió: "... hacer una caracterización de los problemas a los que los matemáticos deberían orientarse en el futuro.", y así lo hizo. Y para ello preparó 23 problemas (aunque no habló de todos ellos durante su conferencia por cuestión de tiempo, pero sí estaban todos en las actas de la conferencia).

Para que vayamos entrando en materia, el libro comienza relatando un poco los avances que logró Hilbert a lo largo de los años anteriores a la conferencia y también sobre la primera conferencia del ICM que dio otro de los grandes de todos los tiempos: Henri Poincaré, del que se dice que fue el último matemático en conocer todas las matemáticas de su época (y que cada vez que oigo su nombre me acuerdo del teorema de Poincaré-Bendixson, será por deformación estudiantil). Nos comenta los estudios de Hilbert sobre geometría no euclídea, teoría de invariantes, teoría de números, ... y como fue decidiendo y seleccionando los problemas que iba a incluir en su conferencia (están todos en el link que he puesto relativo a su conferencia). El libro se adentra un varios de ellos y en si han sido finalmente resueltos o aún no (entre los que aún no han sido resueltos totalmente están la hipótesis del continuo y la hipótesis de Riemann). Y finalmente transcribe la conferencia completa (las actas, con todos los problemas).

Está muy bien narrado, dentro de que los problemas en sí son bastante complejos (por eso los escogió). Pero introduce conceptos curiosos y anécdotas que van haciendo llevaderas las partes más complejas. Por ejemplo, habla del principio de Dirichlet (también conocido como el principio del palomar, que de forma sencilla lo que viene a decir es que "si hay n huecos en un palomar y n+1 palomas, entonces hay al menos un hueco en el que viven al menos dos palomas"), comenta una gran frase de Plutarco: "no se sigue por necesidad que, si la obra te agrada con su gracia, aquel que la forjó sea digno de tu estima", introduce un chiste de matemáticos polacos, en el que un matemático polaco responde a por qué tanto antes como después de la segunda guerra mundial en Polonia habían trabajado sobre algo tan recóndito como la lógica matemática, y el matemático responde: " antes de la guerra lo hacíamos porque la Iglesia no podía entenderlo, y ahora lo hacemos porque el Partido no puede entenderlo" (sobre matemáticas en Polonia, comenté un libro muy bueno sobre la vida de Ulam). Y como no, cuando se habla de lógica, vuelve a salir Gödel (del que ya comenté su famoso teorema en este link).

Por resumir, 258 páginas más 49 de la conferencia, que se pueden leer a ratitos ya que cada problema es medio independiente del anterior y no hay por qué forzar el cerebro más de lo estrictamente necesario.

Copio un trocito:
"La habilidad concreta de Hilbert puede haber residido en su capacidad de ver, o crear, el escenario general correcto que hacía que los problemas viejos y difíciles parecieran fáciles, pero él creó teorías que funcionaban. Quizá haya producido algunos de sus mejores trabajos en algunas de las áreas más puras de las matemáticas, pero también vale la pena recordar que tuvo un persistente interés en la física. Yo diría que Hilbert no planteó 23 problemas. Ni exhortó a la axiomatización y abstracción en un mundo concreto. Exhortó al proceso de equilibrar problemas con teorías y desarrollarlos a la vez. Es en este sentido, como evidenciaban sus 23 problemas, en el que era, como le calificó Blumenthal, un hombre de problemas.".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 3-4 (no hay que olvidar que está hablando de problemas de las matemáticas y hay mucha formula por el camino, aunque las evita todo lo que puede).
Opinión: 3-4 (yo diría que un 4 para los científicos y un 3 para el resto).

Gödel ∀ (para todos)

Escrito por Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro y editado por Ediciones Destino dentro de su colección Imago Mundi (número 170) en 2010 (la primera edición es del 2009).

Tienen un blog dedicado a este libro, que es: link, para los que quieran más información sobre él.

Lo primero que quiero comentar es que, para cualquiera con una formación superior en físicas o matemáticas (o simplemente para cualquier aficionado a los libros de divulgación científica) el simple hecho de ver en un título el nombre de Gödel, atrae. Podemos decir que Gödel y su teorema de incompletitud es a las matemáticas lo que Heisenberg y su principio de incertidumbre es a la física, por dar una aproximación. Es un cambio radical en la forma de pensar. Implica que las cosas no son siempre como queremos por mucho que nos esforcemos.

En el título ponen que es para todos, pero ya informo de antemano que no es así, o bueno, casi no es así. Digamos que podemos dividir el libro en dos partes, una primera que incluye hasta el capítulo seis que, cualquiera con unos conocimientos básicos de matemáticas elementales puede seguir y comprender (lo cual no está nada mal teniendo en cuenta el teorema que están explicando), y otra parte, del capitulo seis al nueve, en la que ya se centran en la demostración del teorema y que, en mi humilde opinión, no es para todos; es para gente con algo de formación y capacidad de abstracción, ya que las demostraciones, a pesar de que las explican bien y las realizan poco a poco, no terminan de ser fáciles (lo cual es normal, como ya he mencionado antes).

En el libro demuestran las dos versiones del teorema, tanto la semántica como la sintáctica. Voy a poner las dos definiciones para el que nunca haya oído hablar de este teorema lea su enunciado:

• (versión semántica): En toda teoría recursiva y consistente para la aritmética, si los axiomas son enunciados verdaderos, puede encontrarse un enunciado verdadero y no demostrable en la teoría.
• (versión sintáctica): Para toda teoría recursiva y consistente que contenga suficiente aritmética, existe un enunciado indecidible, es decir, un enunciado G tal que ni G ni no-G son demostrables.

Y realizan unas demostraciones bastante originales y mucho más sencillas que las originales (o por lo menos yo lo recuerdo así de mi época de estudiante). Basan las demostraciones en dos hipótesis, la primera es que "la concatenación es expresable en el lenguaje formal", y la segunda que "toda propiedad recursiva es expresable en el lenguaje formal", aunque luego demuestran que la segunda hipótesis se deduce de la primera. Como puede comprobarse por el enunciado del teorema y por los enunciados de las hipótesis, las demostraciones requieren del conocimiento de las operaciones en lógica de primer orden (la explican bastante bien) y de una serie posterior de definiciones bastante larga: teoría recursiva, expresable, lenguaje formal, enunciado, números de Gödel, ... lo que hace que se vuelva todo un poco complejo, pero es que no hay otra forma de demostrar el teorema que sea más sencilla (al menos de momento que yo sepa, seguro que tarde o temprano saldrá una más fácil de entender).

Por resumir, son 295 páginas de las cuales, las primeras 164 se pueden leer sin demasiadas complicaciones y a cualquiera que no supiese lo que era el teorema de Gödel le va a quedar bastante claro (tienen un capítulo dedicado a comentar algunos ejemplos de personas que han utilizado el teorema de Gödel fuera de las matemáticas, metiendo la pata hasta el fondo por no saber lo que realmente dice el teorema) y unos apéndices que merece la pena leer. Las demostraciones están muy bien explicadas, pero como ya dije al principio, no son sencillas de seguir (al menos en mi opinión).

Como siempre, copio un trocito:
"Y lejos de dar un golpe fatal a los procedimientos de la razón, la matemática avanza en todas las áreas sin preocuparse demasiado por el Teorema de Gödel . El Teorema de Gödel es visto antes como una curiosidad filosófica que como una preocupación práctica de la disciplina. Esto también es muy importante para tener en cuenta: no es que los matemáticos están detenidos en un limbo de indecisión desde que Gödel demostró este teorema. Si bien el fenómeno de incompletitud tiene gran importancia conceptual en algunas ramas vinculadas a la computación, a la topología, o a la teoría de abstracta de modelos, y el Teorema de Gödel inauguró toda una nueva rama de la matemática vinculada al problema de la decisión, fuera de estos ámbitos el Teorema de Gödel es mirado como un exotismo de los lógicos por la gran mayoría de los matemáticos".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 4 (diría que es un 2 hasta el capítulo cinco, el capítulo cinco es un 3 y los demás están entre el 4-5).
Opinión: 4 (está bien, dentro de la dificultad).