Crónicas matemáticas

Escrito por Antonio J. Durán y publicado por Editorial Crítica dentro de la colección Drakontos en 2017.

Del autor, decir que ya me había leído otro libro suyo ("Pasiones, Piojos, Dioses y Matemáticas") y me había gustado bastante (sigo diciendo que tiene una de las mejores definiciones de lo que es la dimensión Hausdorff que he visto en mi vida) así que había que leer éste otro (que no quiere decir que sea el único de él que no me he leído, que tiene unos cuantos más).

El libro, como él mismo dice, es "una breve historia de las ciencia más antigua y sus personajes". Divide el libro en tres partes: "qué son las matemáticas y para qué sirven", "del siglo XVII a las cavernas" y "del siglo XVIII a nuestros días". Y en ellas va relatando la historia de las matemáticas al tiempo que nos cuenta la vida de los más famosos matemáticos y cómo fueron desarrollando sus ideas en medio de la sociedad que les tocó vivir.

Empieza en la antigüedad desde ahí va avanzando. Comenta que la demostración fue un invento de los primeros matemáticos griegos, y que con ella nacen las matemáticas en el sentido que las entendemos hoy. Fueron los griegos también los que creyeron que detrás de los movimientos aparentemente complejos de los astros en el cielo, había leyes que nosotros podíamos conocer.

Habla de la famosa irracional eficacia de las matemáticas y dice una frase que me ha parecido muy ilustrativa de uno de los famosos errores que se cometen muchas veces: "no hay que confundir el fenómeno que se estudia, ya sea físico, económico o social, con el modelo matemático elaborado para su estudio. El modelo no es el fenómeno: el modelo es una representación del fenómeno". Cita a Georg Cantor (hipótesis del continuo) cuando dijo: "la esencia de las matemáticas es la libertad" y también cita a Dirac: "el matemático juega un juego cuyas reglas ha inventado él mismo, mientras que el físico juega un juego en el que las reglas las determina la naturaleza; sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, se hace cada vez más evidente que las reglas que el matemático ha encontrado interesantes son las mismas que la naturaleza ha elegido".

Repasa todas las ramas de las matemáticas, entre ellas el cálculo infinitesimal que lo forman dos territorios aparentemente separados: el cálculo diferencial - cuyo concepto fundamental es la derivada - y el cálculo integral; a lo que hay que añadir el puente que los une: el teorema fundamental del cálculo, que establece que derivar e integrar son procesos inversos. Este tipo de matemáticas se enfrentó a bastantes detractores, como dijo una vez D'Alembert: "una cantidad es algo o nada; si es algo, aún no se ha desvanecido; si es nada, ya se ha desvanecido literalmente. La suposición de que hay un estado intermedio entre estos dos es una quimera".

Habla, como no podía ser de otra forma, de espacios de Banach (y del Cuaderno Escocés de Lwów), de espacios de Hilbert, menciona el famoso "grupo simétrico" que ha aparecido en anteriores comentarios de libros (se llama así al grupo de permutaciones que se pueden realizar con un conjunto de elementos), de la teoría de números, del famoso teorema de Fermat (del que da un resumen de la demostración en 6 páginas) y de la conjetura de Bale (que sigue sin demostrarse), del sistema RSA de encriptación (del que hablé ya en otros comentarios, como éste), de la función zeta de Riemann, del teorema de Noether (cómo no), del teorema de Bayes (del que hablan largo y tendido en otro de los libros que comenté: éste), de los 23 problemas de la conferencia de Hilbert de 1900 (de los que comenté unos cuantos aquí), y del problema P-NP (un problema es de la clase P si hay un algoritmo que lo resuelva en un tiempo de computación polinomial del número de datos) que sigue siendo uno por los que el Instituto Clay ofrece un millón de dólares por la demostración. Comenta aspectos de matemáticas avanzadas, como que una curva viene determinada por su curvatura y torsión en cada punto. Y hablando de curvaturas, menciona el teorema egregio de Gauss (que por resumir dice "la curvatura es una propiedad intrínseca de una superficie").

Pero tal y como indiqué al principio, no sólo habla de matemáticas, sino de las vidas de los matemáticos, y así, por ejemplo, comenta una frase de uno de los biógrafos de Ramanujan que define muy bien la vida de éste: "como un meteoro, Srinivasa Ramanujan apareció súbitamente en el firmamento matemático, cruzó raudo la corta duración de su vida, se consumió y desapareció con igual rapidez", obviamente, menciona a Gauss (de quien por cierto hay un especial de National Geographic que merece la pena leer: éste) y menciona los ICM ("los ICM no son congresos de matemáticas, esa ciencia altamente organizada, sino de matemáticos, esos individuos caóticos que la crean y la conservan"). Podría intentar decir los nombres de todos los matemáticos que aparecen en el libro, pero creo que ocuparía demasiado espacio y no es el objetivo. Por resumir, si no habla de todos, lo hace de casi todos.

Resumiendo, 448 páginas que se leen bastante bien, aunque algunas de ellas contienen fórmulas (pero es que es muy difícil hablar de matemáticas sin que aparezcan algunas). De todas formas, las fórmulas, el que quiera, se las puede saltar, que no hacen falta para la idea general que quiere transmitir.

Como siempre, copio un trocito; bueno, en esta ocasión dos, porque no me decidía por ninguno:
"El principio de equivalencia permite "explicar" una casualidad sorprendente de la mecánica newtoniana: la igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria. La masa inercial mide la resistencia que opone un objeto a ser movido, mientras que la masa gravitatoria mide su capacidad para atraer otros cuerpos y su facilidad para ser atraído por otros. Para Einstein esta igualdad no era una casualidad, sino el reflejo de un principio básico de la naturaleza, el principio de equivalencia; dicho en otras palabras, la igualdad sería consecuencia de la equivalencia de la fuerza de atracción gravitatoria en la Tierra con un  movimiento uniformemente acelerado".

""Los procesos de abstracción tienen sus peligros. El siguiente párrafo de Morris Kline los describe bien y, aunque se refiere al álgebra, se podría aplicar a casi cualquier otra rama de las matemáticas: "El álgebra abstracta ha terminado por subvertir su propio papel dentro de la matemática. Sus conceptos se formularon para unificar dominios matemáticos aparentemente diversos y completamente separados, tal como hizo, por ejemplo, la teoría de grupos. Una vez formuladas las teorías abstractas, los matemáticos olvidaron los campos concretos originales y concentraron su atención únicamente en las estructuras abstractas. Con la introducción de cientos de conceptos subordinados, la materia se ha desarrollado como los hongos en un desorden de desarrollos menores que tienen poca relación unos con otros y con los campos concretos originales. La unificación ha cedido su lugar a la diversificación y a la especialización". A esto, John Von Neumann lo llamaba "procesos de barroquización de las teorías matemáticas", y confesaba que, cuando llegaban a esos extremos, era mejor cambiar de aires".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 2-3 (sería un 2 si nos saltásemos las fórmulas).
Opinón: 4-5 (muy bueno)

Hilbert

Escrito por Carlos M. Madrid Casado y publicado por RBA dentro de la colección "Genios de las Matemáticas"

 

Reconozco mi ignorancia más absoluta sobre el autor, pero tenía que leer un libro sobre Hilbert sí o sí, que, a fin de cuentas, ¿qué sería de las matemáticas sin los espacios de Hilbert? (se perdería mucha de la diversión de la Teoría de Operadores entre otras cosas), por no hablar de la mecánica cuántica.

 

El libro es un muy buen resumen de la vida y obra de David Hilbert, incluye, por supuesto los famosos 23 problemas que enunció en su conferencia de París de 1900 y sobre la cual ya comenté un libro anterior: éste. Pero no sólo habla de Hilbert y de su famosa frase: "debemos saber, sabremos", sino de la gente con la que coincidió, como Felix Klein, Paul Dirac, Heisenberg, Schrodinger, etc ... porque la verdad es que en la época de Hilbert, la universidad de Göttingen estaba llena de nombres de teoremas (vamos, de grandes cerebros). Como no, no podía dejar de mencionar a Emmy Noether, ya que fue él quien la defendió cuando se opusieron a su nombramiento como profesora en Göttingen, diciendo a sus colegas: "No veo que el sexo de un candidato sea una razón en contra de su admisión. Después de todo, esto es una universidad y no un  establecimiento de baños públicos" (esto es una demostración de lo que debería haber sido siempre el pensamiento científico: objetivo).

 

Obviamente, al tratar de la vida de Hilbert, se mencionan prácticamente todas las ramas de la matemática (incluyendo la polémica formalismo-intuicionismo), ya que fue uno de los últimos que domino (o casi) todas ellas. Salen la práctica totalidad de los matemáticos que se estudian durante la carrera y eso, para los que estuvimos cinco años dando vueltas a sus conclusiones siempre hace ilusión. Se menciona nuevamente el cuaderno escocés y a Stefan Banach (sí, el de los espacios de Banach) del que ya he comentado algo en alguna ocasión (aquí).

 

No entra en profundidad en los asuntos complejos, lo que hace que sea un libro apto para cualquier persona, pero al mismo tiempo introduce conceptos que a lo mejor no son conocidos por el público general (como las integrales Lebesgue, el cálculo de variaciones, las ecuaciones en derivadas parciales, los espacios de Hilbert y muchos otros conceptos que bueno, no está mal que le suenen a la gente). Pero aunque los conceptos son complejos, están bien explicados y no hay que volverse muy loco para entenderlos. De hecho, algunas de las materias son tan complicadas realmente que el propio Hilbert comentó en una ocasión: "la física se está haciendo demasiado complicada para dejársela a los físicos". Hay otra frase muy buena en el libro que no quería dejar sin transcribir aquí: "duda de los datos hasta que los datos no dejen lugar a dudas" (Henri Poincaré).

 

Por resumir, un libro que se lee muy fácilmente a pesar de los conceptos que trata y que son sólo 167 páginas que se leen, literalmente, en una tarde de relax. Tengo otro libro de esta colección, el de Gauss, que no puedo dejar de leerlo en algún momento, por aquello de que cuando estaba en la universidad, jugué en un equipo de baloncesto que se llamaba: "los hijos de Gauss" (y no, no éramos muy buenos, pero nos lo pasábamos muy bien).

 

Como siempre, copio un trocito:

"Hilbert soñaba con fundar las matemáticas sobre una base axiomática. Por desgracia, los teoremas de Gödel acabaron con el sueño del por entonces mejor matemático vivo. En una matemáticas concebida como un sistema formal siempre habrá hipótesis cuya verdad o falsedad no se pueda demostrar. Y lo que es mucho peor: nunca podrá demostrarse que no puede deducirse una contradicción. Justo cuando el edificio estaba a punto de terminarse, los cimientos volvieron a hundirse".

 

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1

Opinión: 3-4

El reto de Hilbert

Escrito por Jeremy J. Gray y publicado por Editorial Crítica en 2003 (el original es del 2000) dentro, como no, de su colección Drakontos.

Tengo que volver a reconocer, como ya me ha pasado en otros libros anteriores, que al autor no lo conocía previamente, pero la idea de leerme un libro sobre la conferencia que dio en 1900 Hilbert en París era algo que me atraía bastante (como le debería pasar a casi todos los matemáticos). Para todos aquellos que no hayan oído hablar de David Hilbert, decir que fue uno de los grandes matemáticos de finales del siglo XIX y principio del XX y como muchos de los de aquella época estuvo dando clases en la Universidad de Göttingen. Para los matemáticos y físicos es conocido, sobre todo, por los famosos espacios de Hilbert (un tipo particular de espacios de Banach).

El libro, como indica en el subtitulo: "los 23 problemas que desafiaron a la matemática", trata de la conferencia que dio Hilbert en 1900 en París (la segunda conferencia del ICM, que tuvimos la suerte de celebrar una en 2006 en España). Como muy bien explican, Hilbert se planteó dar una conferencia normal, sobre lo que se había hecho en los últimos años y los avances conseguidos, pero después de pensarlo y hablarlo con Minkowski (sí, el famoso del espaciotiempo de Minkowski) decidió: "... hacer una caracterización de los problemas a los que los matemáticos deberían orientarse en el futuro.", y así lo hizo. Y para ello preparó 23 problemas (aunque no habló de todos ellos durante su conferencia por cuestión de tiempo, pero sí estaban todos en las actas de la conferencia).

Para que vayamos entrando en materia, el libro comienza relatando un poco los avances que logró Hilbert a lo largo de los años anteriores a la conferencia y también sobre la primera conferencia del ICM que dio otro de los grandes de todos los tiempos: Henri Poincaré, del que se dice que fue el último matemático en conocer todas las matemáticas de su época (y que cada vez que oigo su nombre me acuerdo del teorema de Poincaré-Bendixson, será por deformación estudiantil). Nos comenta los estudios de Hilbert sobre geometría no euclídea, teoría de invariantes, teoría de números, ... y como fue decidiendo y seleccionando los problemas que iba a incluir en su conferencia (están todos en el link que he puesto relativo a su conferencia). El libro se adentra un varios de ellos y en si han sido finalmente resueltos o aún no (entre los que aún no han sido resueltos totalmente están la hipótesis del continuo y la hipótesis de Riemann). Y finalmente transcribe la conferencia completa (las actas, con todos los problemas).

Está muy bien narrado, dentro de que los problemas en sí son bastante complejos (por eso los escogió). Pero introduce conceptos curiosos y anécdotas que van haciendo llevaderas las partes más complejas. Por ejemplo, habla del principio de Dirichlet (también conocido como el principio del palomar, que de forma sencilla lo que viene a decir es que "si hay n huecos en un palomar y n+1 palomas, entonces hay al menos un hueco en el que viven al menos dos palomas"), comenta una gran frase de Plutarco: "no se sigue por necesidad que, si la obra te agrada con su gracia, aquel que la forjó sea digno de tu estima", introduce un chiste de matemáticos polacos, en el que un matemático polaco responde a por qué tanto antes como después de la segunda guerra mundial en Polonia habían trabajado sobre algo tan recóndito como la lógica matemática, y el matemático responde: " antes de la guerra lo hacíamos porque la Iglesia no podía entenderlo, y ahora lo hacemos porque el Partido no puede entenderlo" (sobre matemáticas en Polonia, comenté un libro muy bueno sobre la vida de Ulam). Y como no, cuando se habla de lógica, vuelve a salir Gödel (del que ya comenté su famoso teorema en este link).

Por resumir, 258 páginas más 49 de la conferencia, que se pueden leer a ratitos ya que cada problema es medio independiente del anterior y no hay por qué forzar el cerebro más de lo estrictamente necesario.

Copio un trocito:
"La habilidad concreta de Hilbert puede haber residido en su capacidad de ver, o crear, el escenario general correcto que hacía que los problemas viejos y difíciles parecieran fáciles, pero él creó teorías que funcionaban. Quizá haya producido algunos de sus mejores trabajos en algunas de las áreas más puras de las matemáticas, pero también vale la pena recordar que tuvo un persistente interés en la física. Yo diría que Hilbert no planteó 23 problemas. Ni exhortó a la axiomatización y abstracción en un mundo concreto. Exhortó al proceso de equilibrar problemas con teorías y desarrollarlos a la vez. Es en este sentido, como evidenciaban sus 23 problemas, en el que era, como le calificó Blumenthal, un hombre de problemas.".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 3-4 (no hay que olvidar que está hablando de problemas de las matemáticas y hay mucha formula por el camino, aunque las evita todo lo que puede).
Opinión: 3-4 (yo diría que un 4 para los científicos y un 3 para el resto).