El enigma de Fermat

Escrito por Simon Singh y publicado por Editorial Planeta en 2007 (el original es de 1997).

Como suele ser costumbre, al autor no lo conocía de nada, pero el último teorema de Fermat (llamado así porque era el último de Fermat que quedaba sin demostrar) sí que era un viejo conocido de cuando estudié la carrera hace un par de años, ejem. Por cierto, para el que esté interesado en "Teoría de números", yo tuve un libro muy bueno y de lectura muy fácil (dentro de que era y es un libro técnico, no de divulgación): éste.

El autor es doctor en física de partículas por la Universidad de Cambridge y ha colaborado con programas de la BBC de divulgación científica, entre otros un documental de la serie "Horizon" titulado "El último teorema de Fermat". Después de leerme el libro, no hay duda de que es un gran divulgador, porque tengo que reconocer que el libro (aún sabiendo el final) te engancha como si no lo supieras y estás deseando llegar la final para ver qué pasa.

Puesto que el último teorema de Fermat es muy sencillo de entender y de leer, voy a hacer una excepción y lo voy a detallar aquí, para que todo el mundo sepa de qué estamos hablando. El último teorema de Fermat establece que 

no tiene solución con números enteros cuando n es mayor que 2.

Y ya está. Es así de sencillo y además, Fermat escribió "he encontrado una demostración absolutamente maravillosa, pero el margen de esta hoja es demasiado estrecho para incluirla" y a partir de ahí se lió todo. Esto lo escribió en 1637 y nadie logró demostrarlo hasta que Andrew Wiles lo consiguió, a la segunda, a finales del siglo XX (1994 aunque la publicación se hace en 1995).

Por supuesto, casi todos habréis notado la similitud de la ecuación con el famoso teorema de Pitágoras, y es porque efectivamente, el teorema de Pitágoras es el caso en el que n es igual a 2, y en el libro está una demostración del teorema, la historia del mismo, así como el desarrollo de ternas pitagóricas.

El libro está desarrollado de forma que narra la vida de muchos de los que intentaron resolverlo (sin éxito) y de los desarrollos matemáticos que se produjeron mientras se intentaba dar una respuesta a la conjetura. No olvidemos que, en matemáticas, el objetivo es la demostración absoluta, y cuando algo se demuestra es para siempre, sin posibilidad de cambio. Fermat dijo que lo había demostrado, pero nadie tenía esa demostración, y sin la demostración, una conjetura es una conjetura, como la de Euler, la de los primos sobreestimados o la de Goldbach, de las cuales también se habla, así como de otra que finalmente tuvo un papel crucial en la demostración, la de Taniyama-Shimura (que afirma que cada ecuación elíptica debe estar relacionada con una forma modular) y la demostración que hizo Gerhard Frey de que demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura demostraba el último teorema de Fermat.

Obviamente, los conceptos de los que se hablan son complejos (mucho) pero no hay que entender perfectamente, aunque explica lo básico, lo que son las funciones elípticas, las formas modulares, los grupos de Galois, ni muchos otros términos de los que habla (como el método Kolyvagin-Flach). Lo que hay que entender es el proceso en sí, y cómo una cosa lleva a otra y a otra y a otra, y finalmente se obtiene el resultado buscado durante más de trescientos años.

Habla de muchos conceptos matemáticos, como los problemas de redes (Euler), el hotel infinito de Hilbert, los números abundantes, los números perfectos, el programa Langlands, lo que es una demostración por inducción, por reducción al absurdo, etc, ... En fin, que si alguien tiene buena memoria, después de leer este libro estará en condiciones de hablar de algunos temas que el resto de los mortales no van a entender demasiado bien (salvo que de con alguno de los que sí y entonces tendrá que disimular un poco).

Resumiendo, un libro de 291 páginas más un par de apéndices un pelín más técnicos, que también merece la pena leer. Tal y como dije antes, un libro que te engancha desde el principio. Muy recomendable.

Como siempre copio un trocito (bueno, dos en este caso):

"Pero en el capítulo 3 no había demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura y, por lo tanto, no había demostración del último teorema de Fermat. Había un sentimiento de frustración en la comunidad matemática debido a que la demostración de dos grandes problemas estuviera en dificultades. Más aún, tras seis meses de espera, nadie, salvo Wiles y los evaluadores, tenía acceso al manuscrito. Existía un creciente clamor en demanda de mayor apertura, de manera que todo el mundo pudiera ver por sí mismo los detalles del error. La esperanza era que alguien, en alguna parte, pudiera reparar la brecha en la demostración. Algunos matemáticos afirmaban que la demostración era demasiado valiosa para ser dejada en manos de un solo hombre. Los teóricos de números habían sido el blanco de las pullas del resto de matemáticos, quienes cuestionaban sarcásticamente si habían entendido bien o no el concepto de demostración."

"La teoría de Iwasawa por sí sola era inadecuada- El método de Kolyvagin-Flach por sí solo era inadecuado. Juntos se complementaban perfectamente. Aquél fue un instante de inspiración que Wiles jamás olvidará. Mientras rememoraba aquellos momentos, el recuerdo fue tan intenso que se le saltaron las lagrimas. "Fue tan indescriptiblemente bello, era tan simple y elegante. No podía entender cómo lo había pasado por alto y lo estuve contemplando incrédulo durante veinte minutos. Aquel día pasé por el departamento y volvía a mi despacho para ver si la nueva idea aún estaba allí. Y aún estaba. No podía contenerme, ¡estaba tan emocionado! Fue el momento más importante de mi vida profesional. Nada de lo que haga significará nunca tanto."

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1-2

Opinión: 5 (muy bueno)

Crónicas matemáticas

Escrito por Antonio J. Durán y publicado por Editorial Crítica dentro de la colección Drakontos en 2017.

Del autor, decir que ya me había leído otro libro suyo ("Pasiones, Piojos, Dioses y Matemáticas") y me había gustado bastante (sigo diciendo que tiene una de las mejores definiciones de lo que es la dimensión Hausdorff que he visto en mi vida) así que había que leer éste otro (que no quiere decir que sea el único de él que no me he leído, que tiene unos cuantos más).

El libro, como él mismo dice, es "una breve historia de las ciencia más antigua y sus personajes". Divide el libro en tres partes: "qué son las matemáticas y para qué sirven", "del siglo XVII a las cavernas" y "del siglo XVIII a nuestros días". Y en ellas va relatando la historia de las matemáticas al tiempo que nos cuenta la vida de los más famosos matemáticos y cómo fueron desarrollando sus ideas en medio de la sociedad que les tocó vivir.

Empieza en la antigüedad desde ahí va avanzando. Comenta que la demostración fue un invento de los primeros matemáticos griegos, y que con ella nacen las matemáticas en el sentido que las entendemos hoy. Fueron los griegos también los que creyeron que detrás de los movimientos aparentemente complejos de los astros en el cielo, había leyes que nosotros podíamos conocer.

Habla de la famosa irracional eficacia de las matemáticas y dice una frase que me ha parecido muy ilustrativa de uno de los famosos errores que se cometen muchas veces: "no hay que confundir el fenómeno que se estudia, ya sea físico, económico o social, con el modelo matemático elaborado para su estudio. El modelo no es el fenómeno: el modelo es una representación del fenómeno". Cita a Georg Cantor (hipótesis del continuo) cuando dijo: "la esencia de las matemáticas es la libertad" y también cita a Dirac: "el matemático juega un juego cuyas reglas ha inventado él mismo, mientras que el físico juega un juego en el que las reglas las determina la naturaleza; sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, se hace cada vez más evidente que las reglas que el matemático ha encontrado interesantes son las mismas que la naturaleza ha elegido".

Repasa todas las ramas de las matemáticas, entre ellas el cálculo infinitesimal que lo forman dos territorios aparentemente separados: el cálculo diferencial - cuyo concepto fundamental es la derivada - y el cálculo integral; a lo que hay que añadir el puente que los une: el teorema fundamental del cálculo, que establece que derivar e integrar son procesos inversos. Este tipo de matemáticas se enfrentó a bastantes detractores, como dijo una vez D'Alembert: "una cantidad es algo o nada; si es algo, aún no se ha desvanecido; si es nada, ya se ha desvanecido literalmente. La suposición de que hay un estado intermedio entre estos dos es una quimera".

Habla, como no podía ser de otra forma, de espacios de Banach (y del Cuaderno Escocés de Lwów), de espacios de Hilbert, menciona el famoso "grupo simétrico" que ha aparecido en anteriores comentarios de libros (se llama así al grupo de permutaciones que se pueden realizar con un conjunto de elementos), de la teoría de números, del famoso teorema de Fermat (del que da un resumen de la demostración en 6 páginas) y de la conjetura de Bale (que sigue sin demostrarse), del sistema RSA de encriptación (del que hablé ya en otros comentarios, como éste), de la función zeta de Riemann, del teorema de Noether (cómo no), del teorema de Bayes (del que hablan largo y tendido en otro de los libros que comenté: éste), de los 23 problemas de la conferencia de Hilbert de 1900 (de los que comenté unos cuantos aquí), y del problema P-NP (un problema es de la clase P si hay un algoritmo que lo resuelva en un tiempo de computación polinomial del número de datos) que sigue siendo uno por los que el Instituto Clay ofrece un millón de dólares por la demostración. Comenta aspectos de matemáticas avanzadas, como que una curva viene determinada por su curvatura y torsión en cada punto. Y hablando de curvaturas, menciona el teorema egregio de Gauss (que por resumir dice "la curvatura es una propiedad intrínseca de una superficie").

Pero tal y como indiqué al principio, no sólo habla de matemáticas, sino de las vidas de los matemáticos, y así, por ejemplo, comenta una frase de uno de los biógrafos de Ramanujan que define muy bien la vida de éste: "como un meteoro, Srinivasa Ramanujan apareció súbitamente en el firmamento matemático, cruzó raudo la corta duración de su vida, se consumió y desapareció con igual rapidez", obviamente, menciona a Gauss (de quien por cierto hay un especial de National Geographic que merece la pena leer: éste) y menciona los ICM ("los ICM no son congresos de matemáticas, esa ciencia altamente organizada, sino de matemáticos, esos individuos caóticos que la crean y la conservan"). Podría intentar decir los nombres de todos los matemáticos que aparecen en el libro, pero creo que ocuparía demasiado espacio y no es el objetivo. Por resumir, si no habla de todos, lo hace de casi todos.

Resumiendo, 448 páginas que se leen bastante bien, aunque algunas de ellas contienen fórmulas (pero es que es muy difícil hablar de matemáticas sin que aparezcan algunas). De todas formas, las fórmulas, el que quiera, se las puede saltar, que no hacen falta para la idea general que quiere transmitir.

Como siempre, copio un trocito; bueno, en esta ocasión dos, porque no me decidía por ninguno:
"El principio de equivalencia permite "explicar" una casualidad sorprendente de la mecánica newtoniana: la igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria. La masa inercial mide la resistencia que opone un objeto a ser movido, mientras que la masa gravitatoria mide su capacidad para atraer otros cuerpos y su facilidad para ser atraído por otros. Para Einstein esta igualdad no era una casualidad, sino el reflejo de un principio básico de la naturaleza, el principio de equivalencia; dicho en otras palabras, la igualdad sería consecuencia de la equivalencia de la fuerza de atracción gravitatoria en la Tierra con un  movimiento uniformemente acelerado".

""Los procesos de abstracción tienen sus peligros. El siguiente párrafo de Morris Kline los describe bien y, aunque se refiere al álgebra, se podría aplicar a casi cualquier otra rama de las matemáticas: "El álgebra abstracta ha terminado por subvertir su propio papel dentro de la matemática. Sus conceptos se formularon para unificar dominios matemáticos aparentemente diversos y completamente separados, tal como hizo, por ejemplo, la teoría de grupos. Una vez formuladas las teorías abstractas, los matemáticos olvidaron los campos concretos originales y concentraron su atención únicamente en las estructuras abstractas. Con la introducción de cientos de conceptos subordinados, la materia se ha desarrollado como los hongos en un desorden de desarrollos menores que tienen poca relación unos con otros y con los campos concretos originales. La unificación ha cedido su lugar a la diversificación y a la especialización". A esto, John Von Neumann lo llamaba "procesos de barroquización de las teorías matemáticas", y confesaba que, cuando llegaban a esos extremos, era mejor cambiar de aires".

Clasificación:
Facilidad de lectura: 2-3 (sería un 2 si nos saltásemos las fórmulas).
Opinón: 4-5 (muy bueno)