El arte de la estadística

 

Escrito por David Spiegelhalter y publicado por Capitán Swing Libros en 2023 (el original es del 2020).

Pues una vez más reconozco que no sabía nada del autor (doctor en estadística matemática), pero obviamente, para escribir sobre estadística, viendo el currículum del señor, está más que capacitado, como demuestra a lo largo del libro.

El libro no se dedica tanto a darnos detalles de cómo nos pueden engañar con las estadísticas que nos rodean todos los días (como sí hacen más en otros libros que he comentado con anterioridad: éste y éste), sino que se dedica a explicarnos un poco las bases de la estadística, para lo que detalla algunos principios de la probabilidad (yo soy de los que opina que sin probabilidad no se entiende la estadística, pero vamos, que el autor demuestra que sí que se puede) y también da detalles de las dos ramas principales de la estadística, la bayesiana* y la que utiliza métodos estadísticos tradicionales. Antes de continuar, decir que también nos da consejos para poder sospechar de estadísticas con las que podrían intentar engañarnos: en el capítulo final nos da una serie de preguntas que debemos hacernos siempre y cuatro que deben cumplir siempre las afirmaciones basadas en datos.

Es verdad que, cuando se habla de estadística, hay algunos momentos en los que el libro se pone un poco técnico (pero sin fórmulas, las fórmulas están en los pies de página) y comenta cosas como lo que se entiende por sobreajuste (que es cuando al hacer más complejo un algoritmo esencialmente estamos ajustando el ruido en lugar de la señal), lo que se entiende por apofenia (la capacidad de ver pautas donde no las hay), la que es la corrección de Bonferroni, el teorema central de límite (que dice que la distribución de la media de una muestra tiende hacia la forma de la distribución normal a medida que se incremente el tamaño de la muestra). Pero tiene una gran mayoría de partes en las que simplemente relata cosas que deberíamos tener en cuenta cuando vemos una estadística ya hecha, como que los números no mienten, pero tampoco hablan por sí mismos, somos nosotros los que debemos darles significado, que el tamaño muestral debería afectar a nuestra confianza en el estimador, y que, como dijo George Box, "todos los modelos están equivocados, pero algunos son útiles". Y no puedo evitar comentar que hay alguna referencia a la famosa trilogía (de cinco libros) "La guía del autoestopista galáctico".

Por resumir, un libro de 336 páginas más un glosario final, que se leen casi todas sin dificultad, aunque algunas hay que tomárselas con calma.

Como siempre, copio un trocito:

"Con el tiempo se llevó a cabo una prueba con un sistema de supervisión a los médicos de familia, ¡que inmediatamente identificó a un médico de familia con tasas de mortalidad aún mayores que las de Shipman! La investigación reveló que ese doctor ejercía en una ciudad de la costa sur con un gran número de residencias de la tercera edad con muchas personas mayores, y se esmeraba en ayudar a sus pacientes a que no muriesen en el hospital. Habría sido completamente inapropiado que éste médico de familia recibiese ningún tipo de publicidad  por la tasa aparentemente alta de certificados de defunción que había firmado. La lección que se puede extraer de todo este es que aunque los sistemas estadísticos pueden detectar resultados atípicos, no pueden ofrecer las razones que explican por qué se dan estos resultados, por lo que se requiere aplicarlos cuidadosamente para evitar acusaciones falsas. Una razón más para tener cuidado con los algoritmos".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 3-4 (hay algunas partes que hay que ir con relax).

Opinión: 3-4

* Sobre estadística bayesiana ya comenté un libro bastante bueno con anterioridad: La teoría que nunca murió

Planilandia

Escrito por Edwin A. Abbott en 1884 (sí, la fecha es correcta) y del que yo tengo una edición de Edaf del 2019.

Voy a hacer un comentario muy breve del libro, más que nada porque salió mencionado en la anterior entrada del blog: ésta.

El autor era un educador y teólogo que había escrito otros libros y que escribió este bajo un pseudónimo, supongo que porque era un libro que es más un cuento que otra cosa, aunque es verdad que ayuda a contemplar las dimensiones espaciales de otra forma y, para aquellos sin una formación científica, a darse cuenta de que las dimensiones espaciales que a nosotros nos parecen de lo más normales pudieran no serlo para otros.

Describe una sociedad, la planilandesa, que vive en un mundo de dos dimensiones espaciales y que funciona con unas normas sociales muy rígidas y casi podríamos decir que dictatoriales y clasistas al tiempo que, desde una perspectiva actual, muy machista (hay que tener en cuenta la época en la que se escribió), en la que un miembro de la sociedad bidimensional es sorprendido por un habitante de otro mundo de tres dimensiones (en este caso una esfera), que logra abrirle la mente a la existencia de más dimensiones espaciales, no sólo tres.

No voy a alargar más el comentario, sólo decir que, como el mismo libro indica en su portada, es "una de las novelas de cabecera de Stephen Hawking, Carl Sagan y del científico de ficción Sheldom Cooper". Es un libro que se lee de un tirón (en mi caso de dos) porque son sólo 157 páginas sin ninguna dificultad matemática.

Como siempre copio un trocito:

"Es de entre esos especímenes descartados de nuestra nobleza de donde los grandes tumultos y rebeliones de épocas pasadas sacaron por lo general a sus líderes. Y tan grande es la alteración que procede de esa fuente, que una cada vez mayor minoría de nuestros estadistas más progresistas opinan que sería en verdad misericordioso legislar sobre su eliminación, dictando que todos aquellos que no pasen el examen final de la universidad sean encarcelados a perpetuidad o extintos con una muerte indolora".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1

Opinión: 3-4 (casi le daría un cuatro por estar escrito en la fecha en la que está escrito).

Las constantes de la naturaleza

 

Escrito por John D. Barrow y publicado por editorial Crítica dentro de la colección Drakontos en el 2006 (el original es del 2002).

Al autor (tristemente fallecido en el 2020) ya lo conocía, que había comentado otro libro suyo (éste) y era catedrático en el departamento de matemática aplicada y física teórica en la Universidad de Cambridge, así que para hablar de constantes está más que cualificado y, además, el anterior libro suyo que me leí me pareció bastante bueno.

El libro, por resumir de qué va con palabras del autor: "plantea la pregunta más básica de todas: ¿son las constantes de la naturaleza realmente constantes después de todo?". Claro está que no se refiere a constantes matemáticas sino a constantes físicas, aunque menciona algunos números curiosos, como el número de Eddington (el número de protones del universo) o el número de Holderness (el número de estructuras eléctricas diferentes que podría sostener el cerebro).

Realiza un recorrido por los diversos métodos del calculo de algunas de ellas y por las posibles consecuencias de que realmente se vayan modificando con el paso del tiempo, comprobando además qué niveles de variaciones serían permisibles en el pasado y las que podrían ocurrir en el futuro y sus consecuencias. Como suele ocurrir, aparece gente muy habitual dentro del mundo de la física, y otros que no se mencionan tanto, como Stan Ulam (que estuvo en el proyecto de Los Álamos y del que comenté un libro: éste), Immanuel Kant que intuyó que existía una conexión entre el número de dimensiones del espacio y la forma de las leyes y las constantes de la naturaleza que viven dentro de ellas, Ehrenfest (y su teorema), que demostró que en mundos con más de tres dimensiones espaciales no podían existir átomos estables en absoluto (y al que cogí mucho cariño por el primer libro que comenté en el blog: éste), la teoría de Kaluza-Klein (que no podía faltar cuando se habla de dimensiones extra), y más personajes famosos, aunque no sólo de física y matemáticas, que como habla de evolución, también aparece Darwin (y tiene el detalle de mencionar a Alfred Wallace, que casi todo el mundo se olvida de él) y como no, aunque fuera del mundo de la ciencia, tenía que aparecer alguna referencia a Douglas Adams y su "trilogía de cinco libros".

Resumiendo, un libro de 308 páginas que se leen muy bien (el capítulo 10 titulado "nuevas dimensiones" me ha parecido muy, muy bueno) y de forma relativamente simple. También hace una mención a un libro curioso que es; Planilandia de Edwin Abbott, que me lo leí hace tiempo en pdf y recuerdo que me gustó. A ver si lo releo y lo comento aquí.

Como siempre, copio un trocito:

"Una característica interesante de estos conjuntos inflacionarios es que no nos piden que creamos en un multiverso de otros mundos de estatus dudoso. No son mundos paralelos ni mundos imaginarios, y quizá ni siquiera son mundos meramente hipotéticos. Lo que cuenta como un "mundo" es tan sólo una región muy grande de nuestro único universo. Y si nuestro universo es infinito en extensión, entonces el número de alternativas que puede generar la inflación quizá sea también infinito. Si agota todas las posibilidades lógicas de variación que hay disponibles, cualquier posibilidad que pueda existir, existirá en algún lugar, y no sólo una vez sino a menudo infinitamente. Una cosa que podemos decir con certeza sobre esta idea es que, si es verdadera, no puede ser original".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 2 (hay alguna parte un poco más densa)

Opinión: 4

El cosmos desordenado

Escrito por Chanda Prescod-Weinstein y publicado por Capitán Swing Libros en 2023 (el original es del 2021).

Nuevamente, a la autora no la conocía de nada. Parece ser una muy buena astrofísica (aunque ella diga que no tiene claro si lo es o "sólo" es una física teórica), estudió en Harvard y luego trabajó para la NASA y en el MIT y actualmente es profesora titular en la Universidad de New Hampshire. Con cualquiera de esas cosas y el subtítulo del libro ("un viaje a la materia oscura, el espacio-tiempo y los sueños postergados") valía la pena leerse el libro. Pero tengo que reconocer que no era lo que me esperaba. No hace falta ser muy avispado para, una vez que se empieza a leer el libro, darse cuenta de que el tema principal no es la física, sino el racismo en las instituciones y realmente en todo lo que nos rodea. De hecho, más que sólo de racismo, habla de "supremacía blanca en la ciencia" (de hecho hay una frase que se repite mucho a lo largo del libro: "heteropatriarcado capacitista supremacista blanco" o "patriarcado capacitista heterocisnormativo supremacista blanco"). Con esto hago un aviso a los posibles lectores, más que nada por si se esperaban un libro de divulgación científica al uso, que no lo es. Es un libro sobre el racismo en la ciencia.

Una vez aclarado eso, decir que los primeros cuatro capítulos sí que los dedica a la divulgación científica (y lo hace muy bien), y los restantes once mucho más al racismo en la ciencia y en el mundo, que a la divulgación científica y, como esto es un blog de divulgación científica, me limitaré a comentar lo relativo a la ciencia (aunque tengo claro que el racismo es algo que existió, existe y, sinceramente, creo que seguirá existiendo en mayor o menor medida (espero que sea menos cada vez, pero el ser humano es muy rarito en su comportamiento)). No obstante, tengo que comentar que, durante los primeros capítulos dedicados al racismo, se notaba una sensación de rabia en la forma en que estaba narrando los hechos y en los capítulos finales del libro se entiende el por qué.

Dentro de lo estrictamente científico, habla, como no, de Emmy Noether y de su teorema que, como ella misma dice; "proporcionó a los físicos una hoja de ruta: allá donde haya una simetría en la ecuación, busca una magnitud que se conserve", de Henri Poincaré y de que fue él quien bautizo a materia oscura como tal, de que el término "físico" lo acuñó William Whewell en la lengua inglesa en 1836 (algo totalmente desconocido por mi parte), de la fórmula de Press-Schechter (y de Paul Schechter en particular) y, hablando de fórmulas, decir que como ocurre en muchos libros de divulgación, sólo hay una, que es la de Einstein de la relatividad general (que además explica bastante bien en términos que se puedan entender por cualquiera sin una base matemática alta).

Comenta bastantes temas, entre ellos menciona un libro que ya comenté con anterioridad de Lee Smolin (éste), indica que "el cálculo es el estudio del cambio, mientras que la geometría es del estudio de las formas" y una cosa que no es sólo cierta a nivel académico, también vale a nivel político, que es que "los comités son el instrumento al que recurren las universidades para no tener que gastarse dinero en las cosas que servirían a la supuesta misión de la universidad".

Resumiendo un libro de 296 páginas, en el que las primeras 100 son de divulgación científica y las restantes 196 son más sobre le problema del racismo en la ciencia y en la sociedad.

Como siempre, copio un trocito:

"El film cuenta una historia que yo había conocido unos años antes gracias a un post de Nichelle Gainier en el Tumblr Vintage Black Glamour: la de Melba Roy, una matemática negra que trabajaba como científica espacial en la NASA. Roy era una de las mujeres negras cuya historia la NASA se había encargado de ocultar por completo. Mi amiga Duchess Harris, nieta de una de esas figuras ocultas y profesora del Macalester College, formó parte del equipo de investigación que destapó este tema, y cuenta que , en un primer momento, la NASA ni siquiera creía que esas mujeres hubiesen existido jamás. No lo creyeron hasta que les mostró una carta fechada a mediados de los sesenta, con membrete de la NASA, en el que agradecían a su abuela sus veinte años de servicio, de lo que se deduce que habría empezado en la década de 1940. Recuerdo que hablé con Nichelle de ese post y le señalé cuán sorprendida estaba de que, siendo como era una estudiante negra de astronomía, nunca hubiese oído hablar de Roy. Y más sorprendida aún cuando descubrí tiempo después que no era la única".

Clasificación:

Opinión: 4 (para la parte de divulgación científica las primeras 100 páginas)

Facilidad de lectura: 1 (nuevamente, para la parte de divulgación científica).

Lo que sabemos que no sabemos

Escrito por Lawrence M. Krauss y publicado por Pasado&Presente en el 2023 (el original es del mismo año).

Esta vez sí que sí, que conocía al autor; de hecho he comentado con anterioridad tres libros suyos (éste, éste y éste), con lo cual éste es el cuarto, y sigue estando tan bien escrito como los anteriores. El autor es un físico teórico y ha sido catedrático de la Universidad de Yale.

El título puede llegar a confundirse un poco con otro libro que comenté con anterioridad: "Lo que no podemos saber", pero no es lo mismo, de la misma forma que la ausencia de pruebas no es prueba de ausencia (una frase que, de una forma u otra, se repite a lo largo del libro). 

Este libro pretende, como él mismo dice, que logremos "una perspectiva básica de los límites actuales del conocimiento" en cinco campos, que son los distintos capítulos del libro:

1. Tiempo: ¿es el tiempo universal?¿tiene inicio el tiempo?¿puede el tiempo acabar?¿es posible viajar en el tiempo?
2. Espacio: ¿el espacio tiene final?¿existe la distancia más pequeña `posible?¿hay dimensiones ocultas?¿cuál es la geometría del espacio?¿es el espacio una propiedad fundamental o emergente?
3. Materia: ¿de qué está hecho el mundo?¿cuántas fuerzas hay?¿hay algo que sea fundamental?¿es correcta la mecánica cuántica?¿tendrá la física un final¿?tendrá la materia un final?)
4. Vida: ¿qué es la vida?¿cómo se originó la vida?¿es única la vida de ADN?¿estamos solos?¿cuál es el futuro de la vida?
5. Consciencia: ¿qué es la consciencia?¿cómo surgió la consciencia?¿son los seres humanos los únicos animales conscientes?¿cómo evolucionó la consciencia?¿podemos crear consciencia?¿deberíamos crear consciencia?

Para desarrollar estas ideas habla de multitud de temas y sobre gran cantidad de teorías e ideas, como el famoso "hotel de Hilbert", las partículas de Majorana, la conjetura correspondencia AdS/CFT, etc ... y nos recuerda que aceptar que no disponemos de todas las respuestas es el principio de la ciencia y que no entender algo no es ninguna prueba de Dios ni de debilidad humana; sólo es prueba de lo que no entendemos, que vienen a ser bastantes cosas, entre otras que "no sabemos cómo son nuestros pensamientos hasta que los formulamos a través del lenguaje", que "no tenemos ni idea de por qué el bosón de Higgs y el campo de fondo que establece en todo el espacio tienen las propiedades que tienen", que "la energía del espacio vacío es quizá la mayor incógnita conocida de la física; mientras siga siendo un misterio, la historia de la futura expansión del universo también lo será".

Resumiendo, un libro de sólo 223 páginas que se lee muy bien (yo me he leído un capítulo al día, pero si se tiene tiempo, se podría leer del tirón). Está muy bien escrito, de forma muy amena, con el sentido del humor y la sencillez que le caracteriza, diciendo cosas como: "Andrew Knoll, ..., me comentó que si descubrimos vida en Marte, actual o extinta, la mayor sorpresa para él sería que no estuviésemos emparentados", pero también se pone serio y en las páginas 132 a 134 nos da cinco aspectos clave de la mecánica cuántica, para poder seguir las ideas sin perdernos, y nos recuerda temas que deberíamos tener siempre presentes al oír hablar de ciencia, como que "que un planeta se encuentre en la zona habitable de una estrella, no significa que sea habitable" y que "lo que se sabe sobre un tema es inversamente proporcional a la cantidad de libros escritos sobre ese tema".

Como siempre, copio un trocito:

"Roger Penrose demostró en 1965 que, en el contexto de la relatividad general, la etapa final del colapso de un agujero negro debe producir una singularidad, y por este resultado obtuvo el premio Nobel. Más adelante, Stephen Hawking amplió la demostración de Penrose para mostrar que, bajo ciertas condiciones generales en las propiedades de la energía, como las que hay en un universo dominado por la materia o la radiación, retrotraer en el tiempo las ecuaciones de la relatividad general lleva de manera inevitable a una singularidad en un momento finito del pasado, en el cual no se puede definir ni el tiempo ni el espacio. En pocas palabras, parece haber un momento en el que no había antes, como mínimo en cualquier sentido en el cual entendemos actualmente este término".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1

Opinión: 4 (este hombre escribe muy bien)

Cartas a una joven matemática

 

Escrito por Ian Stewart y publicado por Editorial Crítica dentro de su colección Drakontos en 2009 (el original es del 2006 y la versión que tengo yo, de Booket Ciencia, es del 2019).

Del autor ya he comentado tres libros con anterioridad (éste, éste y éste) y he mencionado uno de los que recuerdo con más cariño de la universidad, de la asignatura "teoría de números" de cuarto (éste). Es un muy reconocido divulgador científico, al margen de haber sido profesor en varias universidades.

Supe del libro leyéndome otro y la verdad es que co,mo ya lo conocía y me gusta como escribe, pues lo compré (realmente hace poco) y me lo acabo de leer, como es normal para poder comentarlo, aunque tengo un amigo que dice de otro que es un "experto comentador de contraportadas de libros" (porque no se lee ninguno, pero habla como si lo hubiese hecho).

Como dice el autor en el prefacio, el libro es "un intento de actualizar algunas partes de "Apología de un matemático", a saber, aquellas que podrían influir en las decisiones de una persona joven que esté considerando la posibilidad de licenciarse en matemáticas y hacer carrera en esta disciplina". Del libro en el que se basa, comenta que vale la pena leerlo, tomando las opiniones del autor en el contexto histórico (y eso es algo que deberíamos hacer siempre, ver todo poniéndonos en la época en la que se hizo). El hilo argumental son una serie de cartas a una estudiante desde que piensa en realizar la carrera de matemáticas hasta que acaba siendo profesora titular en una universidad.

Está escrito sin ninguna dificultad técnica (no entra en detalles) pero menciona muchas ramas de las matemáticas, y, con su sentido del humor típico (quizás sea el sentido del humor británico), comenta muchas cosas que, como licenciado en matemáticas, comparto, como que las matemáticas son una disciplina que no perdona, que lo que cuenta no es la respuesta misma, sino saber cómo obtenerla, que es más importante comprender las simetrías de las ecuaciones que ser capaces de resolverlas, y que, como dicen los matemáticos de todo el mundo, cualquier cosas es o imposible, o trivial, y que, a principios del siglo XX las matemáticas se habían hecho demasiado grandes para que una persona las abarcar por completo.

Por supuesto, al hablar de las matemáticas menciona muchas de sus ramas y bastantes hipótesis y conjeturas, como la de Goldbach, la de Poincaré y el último teorema de Fermat (hay que fijarse que el libro es del 2006).

Pues lo dicho, un libro muy interesante, sin detalles técnicos y que se lee en un par de tardes, al menos en la versión que yo tengo, que son 216 páginas.

Como siempre, copio un trocito:

"Demasiadas de las persona involucradas en este debate fracasaron en su intento de advertir que no había ninguna razón particular para restringir la actividad matemática a un estilo de pensamiento. No había ninguna buena razón para suponer que las matemáticas puras eran buenas y las matemáticas aplicadas eran malas, o al revés. Pero aún así, muchas personas adoptaron estas posturas. Los matemáticos puros no ayudaban al mostrarse ostentosamente desinteresados por buscar la utilidad de lo que hacían; muchos, como Hardy, estaban orgullosos de que su trabajo no tuviera ningún valor práctico. Visto en retrospectiva, había una buena razón para ello, entre varias razones malas. La búsqueda de la generalidad condujo a un examen profundo de la estructura de las matemáticas, y éste análisis reveló a su vez algunas grandes lagunas en nuestra comprensión de los fundamentos de la disciplina. Hipótesis que habían parecido tan obvias que nadie se había dado cuenta de que eran hipótesis, y resultaron ser falsas".

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1.

Opinión: 4 (muy agradable de leer).

Relojes de Einstein, mapas de Poincaré

Escrito por Peter Galison y publicado por Editorial Crítica dentro de la colección Drakontos en 2005 (el original es del 2003).

Al autor no lo conocía, pero el libro lo habían mencionado en otro que me había leído con anterioridad y lo tenía apuntado para leérmelo, que es lo que he hecho. Peter Galison es catedrático de Historia de la Ciencia y la Física en la Universidad de Harvard y autor de varios libros de divulgación científica, lo que hacía que el libro resultase aún más atractivo, ya que, tanto Einstein como Poincaré, son historia (de la buena) de la ciencia.

Por resumir el libro con las palabras del autor: "mi esperanza al explorar la coordinación de relojes ha sido la de establecer el lugar de Poincaré y Einstein dentro de un universo de acciones donde se cruzaban los mecanismos y la metafísica", vamos, que narra la historia de como se fue fraguando la relatividad especial y el papel que jugaron en ella no sólo los famosos experimentos mentales de Einstein, sino la tecnología que se estaba desarrollando a nivel del ferrocarril, telégrafo y radio sobre todo para la sincronización de relojes (y la elaboración de mapas), porque, "para hablar del tiempo, de la simultaneidad a distancia, uno tiene que sincronizar sus relojes. Y si uno quiere sincronizar dos relojes, tiene que empezar con uno, enviar una señal al otro y corregir el tiempo que tarda en llegar la señal. ¿Qué podría ser más simple? Pero, con esta definición procedimental del tiempo, la última pieza del rompecabezas de la relatividad encajaba en su lugar, cambiando la física para siempre."

Por supuesto, nos cuenta bastante de la vida de los dos protagonistas, y comenta detalles interesantes, haciendo que veamos a Poincaré no sólo como filósofo, físico y matemático, sino también como ingeniero (que para algo era ingeniero de minas). Comenta bastantes de sus obras, como "La ciencia y la hipótesis" que escribió en 1902 (y que yo tengo pendiente de leerme) y como la leyó Einstein junto con su club de olímpicos (Maurice Solovine y Conrad Habicht) y les mantuvo despiertos durante semanas.

Al desarrollar la historia, nos habla de muchos asuntos, algunos conocidos, como la "contracción de Lorentz", el famoso "eter", que Einstein y Poincaré se encontraron finalmente, por primera y última vez, en la Conferencia Solvay celebrada en Bruselas en 1911, y las geometrías no euclídeas, y otros menos conocidos, como que Sophus Lie pretendía que "el progreso matemático se seguía del reconocimiento de que había siempre muchas maneras de representar conceptos matemáticos" y que el meridiano principal de Greenwich se fijó en la Conferencia Horaria Mundial de 1884 (no sin antes haberse librado una batalla dialéctica e intelectual entre los puntos de vista franceses y anglosajones, aunque al final se decidió sobre todo por un tema económico).

Un libro bien desarrollado, muy trabajado, con alguna parte que se puede hacer un poco pesada, pero necesaria para el desarrollo de la historia. Son 365 páginas que se leen muy bien y sin esfuerzo. Antes de copiar el párrafo habitual, me gustaría acabar el comentario con dos pensamientos que comenta en el libro:

• "En cierto sentido -insistía Einstein más tarde- yo tengo como cierto que el pensamiento puro puede captar la realidad, como soñaron los antiguos".
• "El tiempo, decía Favarger, "no puede definirse en sustancia; es, metafísicamente hablando, tan misterioso como la materia y el espacio"".

Ahora sí, copio un trocito:

"En respuesta, Poincaré exponía para los filósofos su opinión de lo que él sabía de los puntos de partida de esta ciencia fundamental (la física), basándose para ello en el amplio abanico de sus trabajos sobre los fundamentos de la geometría, la geodesia, la física y la filosofía. Según sus palabras:

1. No hay espacio absoluto, y sólo podemos concebir el movimiento relativo; y, pese a todo, en la mayoría de los casos los hechos mecánicos son enunciados como si hubiera un especio absoluto con respecto al cual pueden ser referidos.
2. No hay tiempo absoluto. Cuando decimos que dos periodos son iguales, la afirmación no tiene significado, y sólo podemos darle un significado por una convención.
3. No sólo no tenemos intuición directa de la igualdad de dos periodos, sino que ni siquiera tenemos intuición directa de la simultaneidad de dos sucesos que ocurren en dos lugares diferentes. He explicado esto en un artículo titulado "La medida del tiempo".
4. Finalmente, ¿no es la propia geometría euclídea tan solo especie de convención del lenguaje?"

Clasificación:

Facilidad de lectura: 1

Opinión: 3-4 (hay alguna parte un poco densa)